Problema 2 - Aplicacions lineals, matriu associad… · Álgebra Lineal UB 2015

Problema 2. Aplicacions lineals, matriu associada i composició

Es considera l'aplicació lineal $f: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_1(x)$ de la qual es coneixen les imatges següents:$$f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = 1, \quad f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 3, \quad f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 1 + x, \quad f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 2 - x$$

Fixades les bases:$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}(\mathbb{R}), \quad B_2 = \{1, 1 + x\} \subset P_1(x)$$

Es defineix ara una aplicació lineal $g: P_1(x) \rightarrow \mathbb{R}^2$ que té per matriu associada respecte a la base $B_2$ d'origen i la canònica $C$ de destí:$$G_{B_2 C} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Troba la imatge de la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. No expressis el resultat en components respecte a cap base. [1 punt]

b)

Determina la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent $B_1$ com a base de partida i $B_2$ com a base d'arribada, $F_{B_1 B_2}$. [1 punt]

c)

Calcula novament el que es demana a l'apartat a), però fent servir ara la matriu obtinguda a l'apartat b). [1 punt]

2.c)

Calcula la matriu associada a la composició $h(\vec{x}) = (g \circ f)(\vec{x})$ en base $B_1$ d'origen i base $B_3 = \{(0,1), (1,0)\}$ de destí a $\mathbb{R}^2$, $H_{B_1 B_3}$. [1,25 punts]