Problema 2 - Nucli i propietats de l'aplicació g · Álgebra Lineal UB 2015

Problema 2. Aplicacions lineals, matriu associada i composició

Es considera l'aplicació lineal $f: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_1(x)$ de la qual es coneixen les imatges següents:$$f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = 1, \quad f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 3, \quad f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 1 + x, \quad f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 2 - x$$

Fixades les bases:$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}(\mathbb{R}), \quad B_2 = \{1, 1 + x\} \subset P_1(x)$$

Es defineix ara una aplicació lineal $g: P_1(x) \rightarrow \mathbb{R}^2$ que té per matriu associada respecte a la base $B_2$ d'origen i la canònica $C$ de destí:$$G_{B_2 C} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Troba una base i la dimensió del nucli de $g$. Els vectors de la base no han d'estar expressats en components. [1 punt]

b)

És $g$ una aplicació injectiva? I exhaustiva? I bijectiva? Justifica la resposta. [0,75 punts]

Injectiva:

Exhaustiva:

Bijectiva: