Problema 1 - Nucli i imatge · Álgebra Lineal UB 2015

Tema: Nucli i imatge d'una aplicació lineal · Del examen Examen final - Gener 2015 (2015)

Enunciado

Considera les bases següents de l'espai vectorial P2(x)P_2(x):

B1={x2,1,x}B_1 = \{x^2, 1, x\}

B2={1+x,2,x+x2}B_2 = \{1 + x, 2, x + x^2\}

B3={x⃗1,x⃗2,x⃗3}B_3 = \{\vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3\}

c.

Considera una aplicació lineal genèrica f:E→Ff: E \to F. Demostra que el seu nucli (ker⁡f\ker f) és un subespai vectorial d'E. [1 punt]

d.

Particularitzem l'aplicació lineal anterior com a:f:R3⟶P1(x)(a,b,c)⟼(a−b)+(c−b)x\begin{aligned} f: \mathbb{R}^3 &\longrightarrow P_1(x) \\ (a, b, c) &\longmapsto (a - b) + (c - b)x \end{aligned}Troba una base i determina la dimensió de Im⁡f\operatorname{Im} f. [1 punt]

Enunciado: Problema 1 - Nucli i imatge · Álgebra Lineal UB 2015

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

c. Considera una aplicació lineal genèrica f:E→Ff: E \to F. Demostra que el seu nucli (ker⁡f\ker f) és un subespai vectorial d'E.

Solución: Comprovació que no és buit i que és tancat sota combinacions lineals: 1) 0⃗E∈ker⁡f\vec{0}_E \in \ker f ja que f(0⃗E)=0⃗Ff(\vec{0}_E) = \vec{0}_F. 2) Si x⃗,y⃗∈ker⁡f\vec{x}, \vec{y} \in \ker f i α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}, f(αx⃗+βy⃗)=αf(x⃗)+βf(y⃗)=α0⃗F+β0⃗F=0⃗Ff(\alpha\vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha f(\vec{x}) + \beta f(\vec{y}) = \alpha\vec{0}_F + \beta\vec{0}_F = \vec{0}_F, d'on αx⃗+βy⃗∈ker⁡f\alpha\vec{x} + \beta\vec{y} \in \ker f.

d. Troba una base de Im⁡f\operatorname{Im} f

Solución: {1, x} / 1, x

d. Determina la dimensió de Im⁡f\operatorname{Im} f

Solución: 2

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 2 - Nucli · 2016 · Problema 2 - Nucli i propietats de l'aplicació g · 2015 ›

Más ejercicios de Nucli i imatge d'una aplicació lineal