Exercici 2.a-c · Álgebra Lineal UB 2013

Exercici 2 (5 punts). Subespais vectorials, generadors, bases i coordenades

Sigui $F$ el subconjunt de matrius quadrades $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ definit per:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b = c = a \quad\text{i}\quad d = a + 2 \right\}$$

a)

[1 p] Determineu raonadament si $F$ és un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$.

Sí

No

b)

[1 p] Es defineix el conjunt $U$ com:$$U = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b=a,\; c=0 \;\text{ i }\; d=a-2b \right\}$$Trobeu una base de $U$ i indiqueu quina és la seva dimensió.

c)

[1 p] Considerem el subespai generat $W = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} K & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \right\rangle$. Sabent que la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$ pertany a $W$, calculeu el valor del paràmetre $K$.