Examen de Álgebra UB 2013 · Juny

PROBLEMA 1 (5 punts). Subespais i canvis de base a $P_2(x)$

En el conjunt $P_2(x)$ dels polinomis de grau menor o igual que 2 a coeficients reals, es planteja el subconjunt:

$$S = \{p(x) = a + bx + cx^2 \in P_2(x) \mid a - b = 0\}$$

a.

Demostreu formalment que $S$ té estructura de subespai vectorial. [1 punt]

b.

Determineu una base del subespai $S$ i indiqueu la seva dimensió. [0,5 punts]

PROBLEMA 1 (5 punts). Subespais i canvis de base a $P_2(x)$

En el conjunt $P_2(x)$ dels polinomis de grau menor o igual que 2 a coeficients reals, es planteja el subconjunt:

$$S = \{p(x) = a + bx + cx^2 \in P_2(x) \mid a - b = 0\}$$

Preneu ara com a referència aquestes bases de $P_2(x)$:

$$B_1 = \{1, x, x^2\}$$

$$B_2 = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$$

$$B_3 = \{1, 1 + x, 1 + x + x^2\}$$

a.

Coneguda la matriu de transició o de canvi de base de $B_1$ a $B_2$:

$$C_{B_1 B_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

trobeu l'expressió dels vectors $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ que formen la base $B_2$. [1,5 punts]

b.

Trobeu el polinomi $q(x)$ tenint en compte que les seves coordenades en la base $B_3$ són $q(x)|_{B_3} = (0, -1, 1)$. [0,5 punts]

c.

Calculeu les coordenades $q(x)|_{B_1}$ fent ús de la matriu de canvi de base pertinent que actua sobre $q(x)|_{B_3}$. [1,5 punts]

PROBLEMA 2 (5 punts). Aplicacions lineals entre matrius i vectors

Es considera una aplicació $f: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^2$ definida per:

$$f\left[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right] = (k\cdot a, a+b)$$

a)

Esbrineu per a quins valors del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ aquesta transformació $f$ és lineal. Demostreu-ho. [1 punt]

D'ara endavant, fixem el paràmetre en $k = 1$. Disposem a més de les següents bases:

$$U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}(\mathbb{R})$$

$$V = \{(0,2), (1,1)\} \subset \mathbb{R}^2$$

b)

Determineu la matriu associada a $f$ utilitzant $U$ com a base d'origen i $V$ com a base d'arribada, $F_{UV}$. [1,5 punts]

c)

Trobeu una base i la dimensió del nucli de l'aplicació, $\ker(f)$. [0,5 punts]

$M_1$:

$M_2$:

d)

Discutiu de manera raonada si l'aplicació $f$ és injectiva, exhaustiva o bijectiva. [0,5 punts]

És injectiva?

És exhaustiva?

És bijectiva?

e)

Suposem que es defineix una nova aplicació lineal $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$, la matriu associada de la qual en bases canòniques d'origen i destí és:

$$G_{CC} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculeu la matriu representativa de la composició $h = g \circ f$ prenent la base $U$ com a origen i la base canònica $C$ de $\mathbb{R}^3$ com a destí. [1,5 punts]