Examen de Álgebra UB 2013 · Juny

Es considera la següent matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 0.4 & 0 & 0 \\ 0.6 & 1 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0.8 \end{pmatrix}$$

Es coneix la matriu $P$ formada pels seus vectors propis (VEPs):

$$P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Nota: Utilitzeu el producte escalar euclidià usual i la norma associada.

a)

[1.5 punts] Sense fer servir el polinomi característic, deduïu la matriu diagonal $D$ que verifica la relació $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$. Indiqueu els valors propis ordenats segons les columnes de $P$ (és a dir, $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ tals que $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$):

b)

[1.5 punts] Assumiu que $A$ és la matriu de transició que descriu anualment les quotes de mercat entre tres companyies de telefonia mòbil («Operador 1», «Operador 2» i «Operador 3»), on l'element en la posició $(i, j)$ correspon a la proporció d'usuaris que passen de l'operador $j$ cap a l'operador $i$ en acabar l'any. Determineu quin operador acabarà dominant el mercat a llarg termini. Argumenteu la deducció mitjançant la teoria de valors i vectors propis.

Es considera la següent matriu $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 0.4 & 0 & 0 \\ 0.6 & 1 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0.8 \end{pmatrix}$$

Es coneix la matriu $P$ formada pels seus vectors propis (VEPs):

$$P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Nota: Utilitzeu el producte escalar euclidià usual i la norma associada.

c)

[0.5 punts] Trobeu el cosinus de l'angle format pels vectors propis $(-1, 1, 0)$ i $(0, 1, 0)$.

d)

[0.5 punts] Normalitzeu el vector propi $(0, 1, -1)$.

e)

[1 punt] Determineu una base ortogonal de l'espai ortogonal $\langle(-1, 1, 0)\rangle^\perp$.

PROBLEMA 2 (5 punts). Producte escalar en P2(t) i millor aproximació

Sigui l'espai vectorial $P_2(t)$ format pels polinomis reals de grau menor o igual que 2, de l'expressió $p(t) = a + bt + ct^2$. Considerem el conjunt $S = \{2, t\}$.

Definim el producte escalar entre dos polinomis qualsevol $f(t)$ i $g(t)$ com:

$$\langle f(t), g(t) \rangle = \int_0^1 f(t) \cdot g(t) \, dt$$

a.

(1.25 punts) Trobeu una base del subespai ortogonal $\langle S \rangle^\perp$.

Sigui el polinomi $h(t) = t^2$. Calculeu la millor aproximació (projecció ortogonal) de $h(t)$ sobre l'espai generat $\langle S \rangle$ mitjançant dues metodologies diferents:

a.

(1.25 punts) Emprant prèviament una base ortogonal de $\langle S \rangle$ per determinar $\hat{h}(t)$.

b.

(1.25 punts) Utilitzant directament la base $\{2, t\}$ mitjançant les equacions normals (matriu de Gram) per calcular $\hat{h}(t)$.

c.

(1.25 punts) Considerant els polinomis $f(t) = t^2 - 2$ i $g(t) = t^2 + t$, indiqueu justificadament quin dels dos té un comportament més semblant a $h(t) = t^2$ en funció de la mètrica definida pel producte escalar.

$f(t)$

$g(t)$