Ejercicio 1 - Canvis de base · Álgebra UB Juny 2013

PROBLEMA 1 (5 punts). Subespais i canvis de base a $P_2(x)$

En el conjunt $P_2(x)$ dels polinomis de grau menor o igual que 2 a coeficients reals, es planteja el subconjunt:

$$S = \{p(x) = a + bx + cx^2 \in P_2(x) \mid a - b = 0\}$$

Preneu ara com a referència aquestes bases de $P_2(x)$:

$$B_1 = \{1, x, x^2\}$$

$$B_2 = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$$

$$B_3 = \{1, 1 + x, 1 + x + x^2\}$$

a.

Coneguda la matriu de transició o de canvi de base de $B_1$ a $B_2$:

$$C_{B_1 B_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

trobeu l'expressió dels vectors $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ que formen la base $B_2$. [1,5 punts]

b.

Trobeu el polinomi $q(x)$ tenint en compte que les seves coordenades en la base $B_3$ són $q(x)|_{B_3} = (0, -1, 1)$. [0,5 punts]

c.

Calculeu les coordenades $q(x)|_{B_1}$ fent ús de la matriu de canvi de base pertinent que actua sobre $q(x)|_{B_3}$. [1,5 punts]