Examen de Álgebra UB 2013 · control 1r Semestre - Novembre 2013

Exercici 1 (5 punts). Matrius, discussió de sistemes i regla de Cramer

a.

Troba quins valors pot prendre el paràmetre real $a$ de manera que la matriu

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & a & a \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

resulti invertible. A continuació, determina la seva expressió inversa $M^{-1}$ en termes de $a$ sense emprar el mètode d'eliminació de Gauss-Jordan. [1,5 punts]

Exercici 1 (5 punts). Matrius, discussió de sistemes i regla de Cramer

b.

Es considera el següent sistema d'equacions lineals depenent dels paràmetres reals $a$ i $b$:

$$\begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ x - y + az = 0 \\ 2x + z = b \end{cases}$$

Fes la discussió completa del sistema en funció dels valors de $a$ i $b$, i sintetitza els resultats obtinguts mitjançant un quadre resum clar. [2 punts]

c.

Per al cas particular en què $a = -1$ i $b = 2$, resol el sistema lineal aplicant la regla de Cramer. [1,5 punts]

Exercici 2 (5 punts). Subespais vectorials de matrius, generadors i coordenades

Sigui el subconjunt de l'espai de matrius $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ definit per:

a.

Determina de manera raonada si $F$ és un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$. [1 punt]

No

Sí

b.

Considera ara el subespai vectorial $U$ donat per:$$U = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b = a,\; c = 0 \;\text{ i }\; d = a - 2b \right\}$$Troba una base i indica la dimensió de $U$. [1 punt]

c.

Sigui el subespai vectorial generat$$W = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\; \begin{pmatrix} K & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \right\rangle$$Sabent que la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$ pertany a $W$, calcula el valor del paràmetre $K$. [1 punt]

Exercici 2 (5 punts). Subespais vectorials de matrius, generadors i coordenades

Sigui el subconjunt de l'espai de matrius $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ definit per:

d.

Es considera la base $B$ de $W$:

$$B = \left\{ \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \right\}$$

Troba les components (coordenades) de la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$ respecte d'aquesta base $B$. (1 punt)

$\lambda_1 =$

$\quad \lambda_2 =$

e.

Coneixent que les components d'un vector $\vec{x}$ en la base $B$ són $\vec{x}|_B = (0, 3)$, calcula explícitament la matriu $\vec{x}$. (1 punt)