Problema 2 · Álgebra UB Juny 2013

Tema: Aplicacions lineals: matriu associada, nucli i imatge · Del examen Juny (2013)

Enunciado

PROBLEMA 2 (5 punts). Aplicacions lineals entre matrius i vectors

Es considera una aplicació f:M2×2(R)⟶R2f: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^2 definida per:

f[(abcd)]=(k⋅a,a+b)f\left[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right] = (k\cdot a, a+b)

a)

Esbrineu per a quins valors del paràmetre k∈Rk \in \mathbb{R} aquesta transformació ff és lineal. Demostreu-ho. [1 punt]

D'ara endavant, fixem el paràmetre en k=1k = 1. Disposem a més de les següents bases:

U={(1000),(0100),(1010),(110−1)}⊂M2×2(R)U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}(\mathbb{R})

V={(0,2),(1,1)}⊂R2V = \{(0,2), (1,1)\} \subset \mathbb{R}^2

b)

Determineu la matriu associada a ff utilitzant UU com a base d'origen i VV com a base d'arribada, FUVF_{UV}. [1,5 punts]

c)

Trobeu una base i la dimensió del nucli de l'aplicació, ker⁡(f)\ker(f). [0,5 punts]

M1M_1:

M2M_2:

d)

Discutiu de manera raonada si l'aplicació ff és injectiva, exhaustiva o bijectiva. [0,5 punts]

És injectiva?

És exhaustiva?

És bijectiva?

e)

Suposem que es defineix una nova aplicació lineal g:R2⟶R3g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3, la matriu associada de la qual en bases canòniques d'origen i destí és:

GCC=(100111)G_{CC} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Calculeu la matriu representativa de la composició h=g∘fh = g \circ f prenent la base UU com a origen i la base canònica CC de R3\mathbb{R}^3 com a destí. [1,5 punts]

Enunciado: Problema 2 · Álgebra UB Juny 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Esbrineu per a quins valors del paràmetre k ∈ ℝ aquesta transformació f és lineal.

Solución: És lineal per a tot k ∈ ℝ

b. Determineu la matriu associada a f utilitzant U com a base d'origen i V com a base d'arribada (F_UV, fila 1 columna 1).

Solución: 0

b. F_UV fila 1 columna 2.

Solución: 1/2

b. F_UV fila 1 columna 3.

Solución: 0

b. F_UV fila 1 columna 4.

Solución: 1/2

b. F_UV fila 2 columna 1.

Solución: 1

b. F_UV fila 2 columna 2.

Solución: 0

b. F_UV fila 2 columna 3.

Solución: 1

b. F_UV fila 2 columna 4.

Solución: 1

c. Dimensió del nucli de l'aplicació, dim(ker(f)).

Solución: 2

c. Matriu 1 de la base canònica de ker(f), posició (1,1).

Solución: 0

c. Matriu 1 de la base canònica de ker(f), posició (1,2).

Solución: 0

c. Matriu 1 de la base canònica de ker(f), posició (2,1).

Solución: 1

c. Matriu 1 de la base canònica de ker(f), posició (2,2).

Solución: 0

c. Matriu 2 de la base canònica de ker(f), posició (1,1).

Solución: 0

c. Matriu 2 de la base canònica de ker(f), posició (1,2).

Solución: 0

c. Matriu 2 de la base canònica de ker(f), posició (2,1).

Solución: 0

c. Matriu 2 de la base canònica de ker(f), posició (2,2).

Solución: 1

d. Discutiu de manera raonada si l'aplicació f és injectiva, exhaustiva o bijectiva.

Solución: Injectiva: No; Exhaustiva: Sí; Bijectiva: No

e. Matriu representativa de la composició H_UC (fila 1 columna 1).

Solución: 1

e. H_UC fila 1 columna 2.

Solución: 0

e. H_UC fila 1 columna 3.

Solución: 1

e. H_UC fila 1 columna 4.

Solución: 1

e. H_UC fila 2 columna 1.

Solución: 1

e. H_UC fila 2 columna 2.

Solución: 1

e. H_UC fila 2 columna 3.

Solución: 1

e. H_UC fila 2 columna 4.

Solución: 2

e. H_UC fila 3 columna 1.

Solución: 2

e. H_UC fila 3 columna 2.

Solución: 1

e. H_UC fila 3 columna 3.

Solución: 2

e. H_UC fila 3 columna 4.

Solución: 3

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 2 · 2017

Más ejercicios de Aplicacions lineals: matriu associada, nucli i imatge