Problema 1 · Matemáticas II UB 2020

Tema: Funcions de diverses variables: classificació, formes explícita i implícita i superfícies quàdriques · Del examen Examen de seguiment de Matemàtiques II (Novembre 2020) (2020)

Enunciado

Exercici 1 [2 punts]. Classificació de funcions i forma canònica i explícita d'una quàdrica

Per a cadascuna de les expressions funcionals següents:

$y = f(x) = \ln(4x^2 - 5x + 6) + \sqrt{x - 2}$

$g(x, y) = (u, v) = (x + 2y, y - 2x)$

Indiqueu de forma raonada:

El nombre de variables independents i dependents (components del vector imatge).

La tipologia de la funció segons la classificació esquemàtica estàndard respecte de les seves variables.

La denominació formal de la seva representació gràfica associada (sense necessitat de fer el dibuix).

Determineu l'equació canònica d'un el·lipsoide amb centre al punt $C(4, -2, 3)$ i semieixos de longitud $a = 1$ , $b = 5$ i $c = \sqrt{2}$ . Posteriorment, aïlleu la variable $z$ per escriure la funció en forma explícita i justifiqueu si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

Enunciado: Problema 1 · Matemáticas II UB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Classificació de les funcions $y = f(x)$ i $g(x,y) = (u,v)$

Solución: Per a $y = f(x)$ : 1 variable independent ( $x$ ) i 1 variable dependent ( $y$ ). Funció escalar de variable escalar ( $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ). Representació: corba en el pla cartesià ( $\mathbb{R}^2$ ). Per a $g(x,y)$ : 2 variables independents ( $x,y$ ) i 2 dependents ( $u,v$ ). Funció vectorial de variable vectorial ( $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ). Representació: transformació vectorial o camp vectorial en el pla.

b. Equació canònica de l'el·lipsoide, expressió explícita de $z$ i justificació d'uniforme o multiforme

Solución: Equació canònica: $(x - 4)^2 + \frac{(y + 2)^2}{25} + \frac{(z - 3)^2}{2} = 1$ . Expressió explícita: $z = 3 \pm \sqrt{2 \left[ 1 - (x - 4)^2 - \frac{(y + 2)^2}{25} \right]}$ . És multiforme.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 2 · 2020 · Exercici 1 · 2020 ›

Problema 1 · Matemáticas II UB 2020

Enunciado

Solución

Más ejercicios de Funcions de diverses variables: classificació, formes explícita i implícita i superfícies quàdriques