Problema 4 · Matemáticas II UB 2020

Tema: Derivades parcials, gradient i diferencial · Del examen Examen de seguiment de Matemàtiques II (Novembre 2020) (2020)

Enunciado

Exercici 4 (2 punts). Càlcul de derivades parcials primeres i avaluació puntual

Calculeu les expressions simplificades de les derivades parcials primeres de cadascuna de les funcions següents i, tot seguit, avalueu-les en el punt especificat:

a.

f(x,y)=ln⁡(2x−y)−cos⁡(2xy−2)+3y2−x3f(x, y) = \ln(2x - y) - \cos(2xy - 2) + 3y^2 - x^3 en el punt P(1,1)P(1, 1).

b.

g(x,y)=exy2⋅(5x2−y)g(x, y) = e^{xy^2} \cdot (5x^2 - y) en el punt Q(2,1)Q(2, 1).

Enunciado: Problema 4 · Matemáticas II UB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Derivada parcial de f(x, y) respecte de x: ∂f/∂x

Solución: 22x−y+2ysin⁡(2xy−2)−3x2\frac{2}{2x - y} + 2y\sin(2xy - 2) - 3x^2

a. Derivada parcial de f(x, y) respecte de y: ∂f/∂y

Solución: −12x−y+2xsin⁡(2xy−2)+6y\frac{-1}{2x - y} + 2x\sin(2xy - 2) + 6y

a. Avaluació puntual al punt P(1, 1): ∂f/∂x|_P

Solución: −1-1

a. Avaluació puntual al punt P(1, 1): ∂f/∂y|_P

Solución: 55

b. Derivada parcial de g(x, y) respecte de x: ∂g/∂x

Solución: exy2(5x2y2−y3+10x)e^{xy^2}(5x^2y^2 - y^3 + 10x)

b. Derivada parcial de g(x, y) respecte de y: ∂g/∂y

Solución: exy2(10x3y−2xy2−1)e^{xy^2}(10x^3y - 2xy^2 - 1)

b. Avaluació puntual al punt Q(2, 1): ∂g/∂x|_Q

Solución: 39e239e^2

b. Avaluació puntual al punt Q(2, 1): ∂g/∂y|_Q

Solución: 75e275e^2

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