Exercici 4 · Matemáticas II UB 2020

Tema: Derivades parcials, gradient i diferencial · Del examen Examen: 1a Prova de Seguiment (Novembre 2020) (2020)

Enunciado

Exercici 4 (2 punts). Derivades parcials primeres i avaluació puntual

Per a cadascuna de les següents funcions multivariable, calculeu les expressions simplificades de les seves respectives derivades parcials de primer ordre i avalueu-les posteriorment en el punt que s'indica:

a.

f(x,y)=sin⁡(5xy)−e2x2y+4x2−8yen el punt P(0,1)f(x, y) = \sin(5xy) - e^{2x^2 y} + 4x^2 - 8y \quad \text{en el punt } P(0, 1)

b.

g(x,y)=2x2+3y2−6xyen el punt Q(1,2)g(x, y) = \sqrt{2x^2 + 3y^2 - 6xy} \quad \text{en el punt } Q(1, 2)

Enunciado: Exercici 4 · Matemáticas II UB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Expressió de ∂f∂x(x,y)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y)

Solución: 5ycos⁡(5xy)−4xye2x2y+8x5y\cos(5xy) - 4xye^{2x^2y} + 8x

a. Expressió de ∂f∂y(x,y)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y)

Solución: 5xcos⁡(5xy)−2x2e2x2y−85x\cos(5xy) - 2x^2e^{2x^2y} - 8

a. Avaluació ∂f∂x∣P\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_P en P(0,1)P(0,1)

Solución: 5

a. Avaluació ∂f∂y∣P\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_P en P(0,1)P(0,1)

Solución: -8

b. Expressió simplificada de ∂g∂x(x,y)\dfrac{\partial g}{\partial x}(x, y)

Solución: 2x−3y2x2+3y2−6xy\dfrac{2x - 3y}{\sqrt{2x^2 + 3y^2 - 6xy}}

b. Expressió simplificada de ∂g∂y(x,y)\dfrac{\partial g}{\partial y}(x, y)

Solución: 3y−3x2x2+3y2−6xy\dfrac{3y - 3x}{\sqrt{2x^2 + 3y^2 - 6xy}}

b. Avaluació ∂g∂x∣Q\left.\dfrac{\partial g}{\partial x}\right|_Q en Q(1,2)Q(1,2)

Solución: −22-2\sqrt{2} / −42\dfrac{-4}{\sqrt{2}}

b. Avaluació ∂g∂y∣Q\left.\dfrac{\partial g}{\partial y}\right|_Q en Q(1,2)Q(1,2)

Solución: 322\dfrac{3\sqrt{2}}{2} / 32\dfrac{3}{\sqrt{2}}

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