Exercici 1 · Matemáticas II UB 2020

a) Anàlisi de cadascuna de les funcions $z = f(x, y)$ i $g(t) = (u, v)$

Solución: Per a $z = f(x, y)$: 2 variables independents, 1 dependent; funció escalar de variable vectorial ($f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$); representació: superfície a l'espai tridimensional ($\mathbb{R}^3$). Per a $g(t) = (u, v)$: 1 variable independent, 2 dependents; funció vectorial de variable escalar ($g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$); representació: corba paramètrica en el pla ($\mathbb{R}^2$).

b) Estudi de la superfície $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 4z - 7 = 0$

Solución: Forma implícita. Forma canònica: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 2)^2 = 36 = 6^2$ (esfera centrada a $C(3, 4, 2)$ i radi $R = 6$). Aïllant $z$: $z = 2 \pm \sqrt{36 - (x - 3)^2 - (y - 4)^2}$, funció multiforme.