Exercici 2 · Matemáticas II UB 2020

f(x,y): a. Trobeu el seu domini de definició de forma analítica.

Solución: $D(f) = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} \le 1\right\}$ / $x^2 + 4y^2 \le 64$

f(x,y): b. Representeu gràficament el domini en el pla cartesià en eixos independents.

Solución: La frontera és una el·lipse amb centre a l'origen $C(0,0)$, semieix horitzontal $a = 8$ i semieix vertical $b = 4$. Com que $64 - 0 - 0 = 64 \ge 0$, el domini comprèn tots els punts de l'interior i la mateixa vora (línia contínua).

f(x,y): c. Justifiqueu detalladament les característiques topològiques del domini (obert/tancat, acotat/no acotat, compacte/no compacte i convex/no convex).

Solución: Tancat, acotat, compacte i convex.

f(x,y): d. Calculeu i determineu raonadament el recorregut o conjunt imatge corresponent.

Solución: $R(f) = [-5, 3]$

g(x,y): a. Trobeu el seu domini de definició de forma analítica.

Solución: $D(g) = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid 4x^2 - y^2 > 4\right\}$ / $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{4} > 1$

g(x,y): c. Justifiqueu detalladament les característiques topològiques del domini (obert/tancat, acotat/no acotat, compacte/no compacte i convex/no convex).

Solución: Obert, no acotat, no compacte i no convex.

g(x,y): d. Calculeu i determineu raonadament el recorregut o conjunt imatge corresponent.

Solución: $R(g) = \mathbb{R}$ / $(-\infty, +\infty)$