Pregunta 1 · Matemáticas II UB 2020

Pregunta 1. Matriu jacobiana i determinació de paràmetres mitjançant hessià

a.

Considereu la funció vectorial $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ expressada com:$$f(x, y) = (e^{xy}\sin(y),\, e^{xy}\cos(y))$$Determineu la matriu jacobiana $J(f)$ associada i el determinant jacobià $|J|$, simplificant l'expressió al màxim recordant que $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

b.

Es defineix el camp escalar:$$z = f(x, y) = ax^3 + by^2 + 5cx - 6xy$$Trobeu els coeficients reals $a$, $b$ i $c$ de tal manera que en el punt $P(1,1)$ la matriu jacobiana compleixi $J|_P = (-15\,\; 2)$ i el determinant de la matriu hessiana sigui $|H|_P = 60$.