Examen de Estadística UB 2021 · Parcial d' (Abril 2021)

En una recerca clínica sobre la vacuna SPUTNIK ( Safety and efficacy of an rAd26 and rAd5 vector-based heterologous prime-boost COVID-19 vaccine: an interim analysis of a randomised controlled phase 3 trial in Russia, The Lancet, vol. 397, febrer 2021), es determina que la probabilitat de manifestar febre com a efecte advers és de $0{,}15$. Assumim que s'administra la vacuna a la totalitat dels $80$ estudiants d'un grup de classe.

a)

[1,25 punts] Determina quina és la probabilitat que com a màxim 10 d'aquests estudiants presentin febre. Deixa expressada la comanda corresponent per a la seva resolució amb R.

En una recerca clínica sobre la vacuna SPUTNIK ( Safety and efficacy of an rAd26 and rAd5 vector-based heterologous prime-boost COVID-19 vaccine: an interim analysis of a randomised controlled phase 3 trial in Russia, The Lancet, vol. 397, febrer 2021), es determina que la probabilitat de manifestar febre com a efecte advers és de $0{,}15$. Assumim que s'administra la vacuna a la totalitat dels $80$ estudiants d'un grup de classe.

b)

[1,25 punts] Considera que la probabilitat que un alumne vagi a classe si té febre és de 0,3, mentre que si no té febre és de 0,9. Si es trien dos estudiants a l'atzar de manera independent, calcula quina probabilitat hi ha que cap d'ells no assisteixi a classe.

A les dades del mateix assaig clínic es recull que es van inocular 14.964 voluntaris amb la vacuna i es va administrar placebo a 4.902 individus sota un disseny a doble cec. Després de 21 dies des de la inoculació, van contraure la COVID-19 un total de 16 persones del grup vacunat i 62 de la cohort placebo.

a)

(1 punt) Assumint que el fàrmac actua com a tractament preventiu de la infecció, obtén els indicadors epidemiològics principals: Risc Relatiu ($RR$), Reducció Absoluta del Risc ($RAR$) i Nombre Necessari a Tractar ($NNT$). Especifica quin d'aquests valors s'utilitza formalment per avaluar l'eficàcia protectora de la vacuna.

b)

(1 punt) Suposem que s'escull un participant de la mostra a l'atzar sense conèixer a quin grup pertany i es comprova que ha patit COVID-19. Troba la probabilitat que formi part del grup vacunat.

A les dades del mateix assaig clínic es recull que es van inocular 14.964 voluntaris amb la vacuna i es va administrar placebo a 4.902 individus sota un disseny a doble cec. Després de 21 dies des de la inoculació, van contraure la COVID-19 un total de 16 persones del grup vacunat i 62 de la cohort placebo.

c)

(0,5 punts) S'analitzen els 16 individus vacunats que van contraure la malaltia, dels quals es constata que 10 superen els 50 anys d'edat. Si s'extreuen a l'atzar 3 individus d'aquest subconjunt de 16, quina és la probabilitat que exactament 2 siguin majors de 50 anys?

Problema 3 (3 punts). Distribució normal de fàrmac, combinació lineal i model geomètric

La concentració de principi actiu que s'aconsegueix en sang en administrar un vial d'un determinat fàrmac segueix una distribució normal $N(12, 1)$. En una pauta clínica es requereix aplicar consecutivament 3 vials independents, considerant-se que el tractament assoleix l'èxit terapèutic si la concentració acumulada supera les 34 unitats.

a)

[1 punt] Quina probabilitat hi ha que la concentració produïda per un sol vial superi les 14 unitats?

b)

[1 punt] Calcula quina és la probabilitat que el tractament complet de 3 vials resulti reeixit.

c)

[1 punt] Determina la probabilitat que sigui necessari administrar exactament 4 vials abans de trobar el primer vial la concentració del qual superi el llindar de 14 unitats.

Problema 4 (2 punts). Funció de distribució contínua, procés de Poisson i regressió lineal

a.

[0,5 punts] Una variable aleatòria contínua que descriu cert tret biomètric d'una espècie té com a funció de distribució acumulada:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

Calcula la probabilitat que un animal triat a l'atzar presenti una mesura inferior a 0,5.

Opcions (tria la correcta i justifica-la):

Problema 4 (2 punts). Funció de distribució contínua, procés de Poisson i regressió lineal

b.

[0,5 punts] El nombre de pacients ingressats per setmana a la UCI d'un hospital per COVID-19 segueix una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda = 1,2$ sota determinades restriccions sanitàries. Troba la probabilitat que en una setmana concreta no es produeixi cap ingrés a la UCI.

Opcions (tria la correcta i justifica-la):

Problema 4 (2 punts). Funció de distribució contínua, procés de Poisson i regressió lineal

c. (1 punt) En una prova experimental s'ha mesurat la concentració de principi actiu absorbit en funció de la dosi administrada:

Dosi · Concentració

10 · 15,5

20 · 18,8

30 · 22,4

40 · 26,0

Troba l'equació de la recta de regressió per mínims quadrats i estima quina seria la concentració esperada per a una dosi de 25. Avalua així mateix el coeficient de correlació lineal i raona si el model ajustat és de bona qualitat.

1.

y =

2.

3.

4.