Pregunta 6 · Matemàtiques Ii UB 2021

Tema: Models econòmics amb equacions diferencials: ajust del preu i creixement exponencial · Del examen Avaluació Continuada: Bloc II (Temes 3 i 4) - Maig de 2021 (2021)

Enunciado

Pregunta 6 (2 punts). Model d'evolució del preu de mercat

Assumim que el preu p(t)p(t) d'un producte varia en el temps amb una velocitat o taxa de variació dp(t)dt\frac{dp(t)}{dt} proporcional a l'excés de demanda, modelitzat mitjançant l'equació diferencial:

dp(t)dt=k(D(t)−S(t))\frac{dp(t)}{dt} = k(D(t) - S(t))

on les funcions de demanda i oferta són, respectivament, D(t)=7−p(t)D(t) = 7 - p(t) i S(t)=1+p(t)S(t) = 1 + p(t).

a.

(1 punt) Calculeu la solució general de l'equació diferencial donada.

b.

(0,5 punts) Si en el moment inicial (t=0t = 0) el preu és de 6 € i per a t=4t = 4 el preu és de 4 €, determineu la solució particular corresponent.

c.

(0,5 punts) Demostreu que a llarg termini (quan el temps tt es fa infinitament gran), el preu s'aproxima al preu d'equilibri de mercat.

pe=lim⁡t→+∞p(t)=p_e = \lim_{t \to +\infty} p(t) = €

Enunciado: Pregunta 6 · Matemàtiques Ii UB 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (1 punt) Calculeu la solució general de l'equació diferencial donada.

Solución: p(t)=3+Ae−2ktp(t) = 3 + A e^{-2kt}

b. (0,5 punts) Si en el moment inicial (t = 0) el preu és de 6 € i per a t = 4 el preu és de 4 €, determineu la solució particular corresponent.

Solución: p(t)=3+3e−ln⁡(3)4tp(t) = 3 + 3 e^{-\frac{\ln(3)}{4}t} / p(t)=3+31−t/4p(t) = 3 + 3^{1 - t/4}

c. (0,5 punts) Demostreu que a llarg termini (quan el temps t es fa infinitament gran), el preu s'aproxima al preu d'equilibri de mercat.

Solución: 3

Justificació del comportament asimptòtic:

Solución: Com que k = ln(3)/8 > 0, quan t tendeix a infinit el terme exponencial 3*e^(-2kt) tendeix a 0, de manera que el límit de p(t) és 3, que coincideix exactament amb el preu d'equilibri on D(pe) = S(pe) (7 - pe = 1 + pe => pe = 3).

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 7 · 2021 · Pregunta 19 · 2021 ›

Más ejercicios de Models econòmics amb equacions diferencials: ajust del preu i creixement exponencial