Examen de Matemàtiques I UB 2017 · reavaluació - Juliol 2017

Pregunta 1 [3 punts]. Combinació lineal de vectors

Trobeu quin dels següents vectors es pot expressar com a combinació lineal dels vectors ${(1, -1, 3), (0, 2, 1)}$:

Pregunta 2 [3 punts]. Dependència i independència lineal

A partir del conjunt de vectors ${(k, 1, 0), (1, 0, 1), (3, k, -1)}$, assenyaleu quina de les afirmacions següents és certa:

Determineu les coordenades del vector $(-3, 22, 12)$ respecte de la base de $\mathbb{R}^3$ formada per $\{(1, 0, 0), (0, 5, 3), (3, -1, 0)\}$:

Pregunta 4 (3 punts). Caracterització de subespais vectorials

Assenyaleu quin dels següents subconjunts constitueix un subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$:

Pregunta 5 (3 punts). Base ortogonal a R^3

Suposeu que el conjunt $\{(1, 0, -1), (2, 0, 2), (a, b, c)\}$ és una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$. Quin dels vectors següents pot correspondre a $(a, b, c)$?

Pregunta 6 (3 punts). Càlcul de la distància euclidiana

Trobeu el valor del paràmetre $k$ necessari perquè la distància euclidiana entre els punts o vectors $(3, 5, -1)$ i $(4, k, 2)$ valgui $\sqrt{10}$:

Pregunta 7 (3 punts). Classificació de formes quadràtiques

Classifiqueu la forma quadràtica donada per l'expressió $f(x, y, z) = 3x^2 + 2xy + y^2 - 4xz + 2z^2$:

Pregunta 8 (3 punts). Topologia i convexitat a R^2

Sigui el conjunt $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \le 1, y \ge 2\}$. Aleshores, es pot afirmar que $A$ és:

.

Pregunta 9 (3 punts). Corbes de nivell d'una funció

Considerant la funció $f(x, y) = \frac{y}{x^2 + 2}$, quina afirmació sobre les seves corbes de nivell és correcta?

Pregunta 10 (3 punts). Gradient d'una funció escalar

Calculeu el vector gradient de la funció $f(x, y) = \frac{x - y^2}{x^2}$ al punt $(1, 0)$:

Pregunta 11 (3 punts). Derivada direccional

Trobeu la derivada direccional de $f(x, y) = x\sqrt{y^3}$ al punt $(2, 1)$ en la direcció del vector $\vec{v} = (1, 1)$:

Pregunta 12 (3 punts). Hiperplà tangent

Determineu l'equació de l'hiperplà tangent al gràfic de la funció $f(x, y, t) = \ln(x + y + t^2)$ en el punt $(0, e, 0)$:

Pregunta 13 (3 punts). Matriu Hessiana

Trobeu la matriu Hessiana associada a la funció $f(x, y) = e^{2x - 3y}$:

.

Pregunta 14 (3 punts). Derivació implícita

Atesa l'equació $x^2 e^y - y^2 e^x = 1$, que defineix implícitament la funció $y = y(x)$ a l'entorn del punt $(1, 0)$, calculeu $\frac{dy}{dx}(1, 0)$:

.

Pregunta 15 (3 punts). Regla de la cadena en diverses variables

Sigui la funció composta $z = F(x, y) = x(y + 1)$, on $x = s^2 - t^2$ i $y = s^2 + t^2$. Calculeu el valor de $\frac{\partial z}{\partial s}$ en el punt $(s, t) = (-1, 1)$:

.

Pregunta 16 (3 punts). Concepte d'elasticitat parcial

Considereu la funció $f(x, y) = x^2 y(3 + \sqrt{x})$. Un cop calculada l'elasticitat de $f(x, y)$ respecte de la variable $y$, quina afirmació és correcta?

.

Pregunta 17 (3 punts). Grau d'homogeneïtat

Donada la funció $f(x, y, z) = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{xy}{z^2}\right)$, determineu el seu grau d'homogeneïtat:

.

Pregunta 18 (3 punts). Aplicació del teorema de Weierstrass

Sigui la funció contínua $f(x, y) = 3x + y$. Sobre quin dels conjunts següents podem garantir l'existència d'extrems globals mitjançant el teorema de Weierstrass?

.

Pregunta 19 (3 punts). Optimització lliure i punts crítics

Donada la funció $f(x, y) = x^3 + 2y^3 - 3x^2 - 2y^2$, indiqueu quina de les afirmacions següents és certa:

.

Pregunta 20 (3 punts). Maximització d'ingressos

Una empresa tèxtil ven dos tipus de teixits amb funcions de demanda respectives:

$$q_1(p_1, p_2) = 25 - 6p_1 + p_2 \quad \text{i} \quad q_2(p_1, p_2) = 3 + 4p_1 - 2p_2$$

on $q_1, q_2$ són les quantitats venudes i $p_1, p_2$ els preus unitaris. Quins preus ha d'establir per tal de maximitzar els ingressos totals?

.