Examen de Matematiques Iii UPF 2016 · Juny

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & 6 & 0 \\ a & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad a \in \mathbb{R}.$$

a)

[2 punts] Verifiqueu, aplicant directament la definició de vector propi, que el vector $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ n'és un, i indiqueu el seu valor propi associat.

b)

[6 punts] Trobeu tots els valors propis de la matriu $A$.

c)

[2 punts] Raoneu per a quins valors de $a$ la matriu $A$ resulta diagonalitzable.

d)

[6 punts] Trobeu, en funció del paràmetre $a$, el subespai de vectors propis associat al valor propi $\lambda = 6$. Descriviu la dimensió i una base o generador en funció de si $a \neq \pm 4$, $a = 4$ o $a = -4$.

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & 6 & 0 \\ a & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad a \in \mathbb{R}.$$

[4 punts] e. Analitzeu la concavitat o convexitat de la funció $f(x, y, z) = x^2 + 3y^2 + z^2 + axz$ en funció dels valors del paràmetre $a \in \mathbb{R}$.

1.

2.

És còncava la funció $f$ per a algun valor de $a$?

Sí

No

3.

2. (20 punts) Optimització amb restriccions d'inequació

Considereu la funció:

$$f(x, y, z) = x^2 + (y - 1)^2 + z$$

sotmesa a les condicions de desigualtat:

$$\begin{cases} x^2 - 4y^2 \le 0 \\ x + z \ge 1 \end{cases}$$

Determineu els extrems globals (màxims i mínims), justificant la seva existència o absència.

a)

Té la funció algun màxim global sota aquestes restriccions?

Sí

No

b)

Punt on s'assoleix el mínim global $(x, y, z)$ i el seu valor mínim:

Problema. Model de creixement d'una nena [15 punts]

Una nena feia una alçada de $0{,}49\text{ m}$ en el moment de néixer. Al cap d'un any d'edat assolia $0{,}91\text{ m}$, i en complir el segon any feia $1{,}19\text{ m}$.

a)

Suposant que la seva taxa de creixement segueix un model en equació en diferències de primer ordre de la forma $x_{t+1} = ax_t + b$, plantegeu el sistema i determineu el valor dels coeficients $a$ i $b$. [7 punts]

b)

Resoleu de manera explícita l'equació en diferències trobada. [3 punts]

c)

És un model estable? Determineu si, segons aquest model, la nena superarà els $1{,}80\text{ m}$ en arribar a l'edat adulta. [5 punts]

Sí

No

Sí

No

3. Equació en diferències de segon ordre [15 punts]

Es considera la successió donada per: $$x_t = (\sqrt{2})^t \sin\left(\frac{3\pi}{4}t\right) + t$$ la qual satisfà una equació en diferències lineal de segon ordre amb coeficients constants.

a)

Trobeu l'equació en diferències completa de la qual $x_t$ és solució particular. [10 punts]

Expressa l'equació en la forma $x_{t+2} + a_1 x_{t+1} + a_2 x_t = c_t$.

b)

Quina seria la solució d'aquesta mateixa equació si s'imposessin les condicions inicials $x_0 = 1$ i $x_1 = 0$? [5 punts]

4. Equació diferencial de variables separables [10 punts]

Trobeu la solució de l'equació diferencial: $$\dot{x} = x^2 t e^t$$ sota cadascuna de les condicions inicials següents:

a)

Amb la condició inicial $x(0) = 1$. [5 punts]

b)

Amb la condició inicial $x(0) = 0$. [5 punts]

5. Equació diferencial lineal de segon ordre amb paràmetre [20 punts]

Es considera l'equació diferencial: $$\ddot{x} - 9x = e^{kt}, \quad k \in \mathbb{R}.$$

a)

Trobeu la solució general de l'equació en funció del paràmetre real $k$. [15 punts]

b)

Determineu la solució per al cas particular $k = 2$ que compleix les condicions inicials $x(0) = -\frac{1}{5}$ i $\dot{x}(0) = -\frac{2}{5}$. [5 punts]