Ejercicio 1.a-d - Valors i vectors propis, diagonalització · Matematiques Iii UPF Juny 2016

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & 6 & 0 \\ a & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad a \in \mathbb{R}.$$

a)

[2 punts] Verifiqueu, aplicant directament la definició de vector propi, que el vector $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ n'és un, i indiqueu el seu valor propi associat.

b)

[6 punts] Trobeu tots els valors propis de la matriu $A$.

c)

[2 punts] Raoneu per a quins valors de $a$ la matriu $A$ resulta diagonalitzable.

d)

[6 punts] Trobeu, en funció del paràmetre $a$, el subespai de vectors propis associat al valor propi $\lambda = 6$. Descriviu la dimensió i una base o generador en funció de si $a \neq \pm 4$, $a = 4$ o $a = -4$.