Ejercicio 1.e - Concavitat i convexitat · Matematiques Iii UPF Juny 2016

Tema: Formes quadràtiques, concavitat i optimització lliure · Del examen Juny (2016)

Enunciado

Es considera la matriu real:

A=(20a060a02),a∈R.A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & 6 & 0 \\ a & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad a \in \mathbb{R}.

[4 punts] e. Analitzeu la concavitat o convexitat de la funció f(x,y,z)=x2+3y2+z2+axzf(x, y, z) = x^2 + 3y^2 + z^2 + axz en funció dels valors del paràmetre a∈Ra \in \mathbb{R}.

1.

2.

És còncava la funció ff per a algun valor de aa?

Sí

No

3.

Enunciado: Ejercicio 1.e - Concavitat i convexitat · Matematiques Iii UPF Juny 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Valors de a per als quals f és convexa:

Solución: [-2, 2] / a ∈ [-2, 2]

És còncava la funció f per a algun valor de a?

Solución: No

Justificació raonada a partir dels valors propis de la matriu hessiana:

Solución: Hf = A, per tant té els mateixos valors propis (6, 2-a, 2+a). Com que λ1 = 6 > 0 sempre, mai pot ser semidefinida negativa (mai còncava). És convexa ssi 2-a ≥ 0 i 2+a ≥ 0, és a dir, -2 ≤ a ≤ 2.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 6.a - Optimització lliure · Juny 2017

Más ejercicios de Formes quadràtiques, concavitat i optimització lliure