Examen de Cálculo en una Variable UPC 2014 · 1r Semestre Gener 2014

PROBLEMA 1 (1 punt). Arrels cúbiques en el pla complex

Calculeu les arrels cúbiques del nombre complex $z = 1 + j$ i representeu-les geomètricament en el pla complex.

1.

2.

3.

Representació gràfica de les arrels al pla complex:

PROBLEMA 2 (2 punts). Càlcul de límits

Calculeu els límits següents:

Apartat a. Calculeu el límit següent:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1+2^2} + \sqrt{1+3^2} + \cdots + \sqrt{1+n^2}}{n^2 + 1}$$

PROBLEMA 2 (2 punts). Càlcul de límits

Calculeu els límits següents:

Apartat b. Calculeu el límit següent:

$$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\operatorname{tg} x}{\sin x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$

PROBLEMA 3 (1,5 punts). Continuïtat i derivabilitat per definició

Considereu la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} & \text{si } -1 < x < 0 \\ e^x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{\sin(x - 1)}{x^2 - 1} & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases}$$

Estudieu la continuïtat i la derivabilitat de $f(x)$, fent ús de la definició de derivada en un punt en els casos que calgui.

Estudi en $x = 0$

La funció $f(x)$ és contínua a $x = 0$:

La funció $f(x)$ és derivable a $x = 0$:

Estudi en $x = 1$

La funció $f(x)$ és contínua a $x = 1$:

La funció $f(x)$ és derivable a $x = 1$:

Justificació:

PROBLEMA 4 (1 punt). Recta tangent al foli de Descartes

La corba coneguda com a «foli de Descartes», estudiada per René Descartes l'any 1638, ve descrita per l'equació implícita:

$$x^3 + y^3 = 3xy$$

Trobeu l'equació de la recta tangent a aquesta corba en el punt $P\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$.

La tensió en borns d'un condensador evoluciona en funció del temps segons l'expressió:

$$V(t) = V_0(1 - e^{-t})$$

a.

Calculeu la variació mitjana de la tensió en l'interval de temps comprès entre $t = 0$ i $t = 20$ segons com a quocient d'increments.

La tensió en borns d'un condensador evoluciona en funció del temps segons l'expressió:

$$V(t) = V_0(1 - e^{-t})$$

b.

Comproveu que es compleix el teorema del valor mitjà (teorema de Lagrange) en aquest interval trobant el valor $t_0 \in (0, 20)$ que el satisfà.

$t_0 =$

PROBLEMA 6 (1,5 punts). Polinomi de Taylor i fita d'error

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x + 3}$:

a)

Trobeu la recta que millor aproxima $f(x)$ al voltant del punt $a = 1$ (polinomi de Taylor d'ordre 1) i feu-la servir per aproximar el valor de $\sqrt{4{,}05}$.

b)

Proporcioneu una fita superior per a l'error absolut comès en aquesta aproximació mitjançant el residu de Lagrange.

PROBLEMA 7 (2 punts). Gràfiques de la primera i segona derivada

A partir de la gràfica d'una funció $f(x)$ que es mostra a continuació, dibuixeu qualitativament les gràfiques de la seva funció derivada primera $f'(x)$ i de la segona derivada $f''(x)$, justificant cadascuna de les característiques rellevants.