PROBLEMA 3 · Cálculo en una Variable UPC 2014

Tema: Continuïtat i derivabilitat en un punt · Del examen Examen 1r Semestre Gener 2014 (2014)

Enunciado

PROBLEMA 3 (1,5 punts). Continuïtat i derivabilitat per definició

Considereu la funció definida a trossos:

f(x)={ln⁡(1+x2)x2si −1<x<0exsi 0≤x≤1sin⁡(x−1)x2−1si 1<x<2f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} & \text{si } -1 < x < 0 \\ e^x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{\sin(x - 1)}{x^2 - 1} & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases}

Estudieu la continuïtat i la derivabilitat de f(x)f(x), fent ús de la definició de derivada en un punt en els casos que calgui.

Estudi en x=0x = 0

La funció f(x)f(x) és contínua a x=0x = 0:

La funció f(x)f(x) és derivable a x=0x = 0:

Estudi en x=1x = 1

La funció f(x)f(x) és contínua a x=1x = 1:

La funció f(x)f(x) és derivable a x=1x = 1:

Justificació:

Enunciado: PROBLEMA 3 · Cálculo en una Variable UPC 2014

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Conclusions sobre la continuïtat i derivabilitat a x=0x = 0 i x=1x = 1

Solución: Contínua a x=0x=0: Sí; Derivable a x=0x=0: No; Contínua a x=1x=1: No; Derivable a x=1x=1: No

Desenvolupament i càlculs (límits laterals, quocient incremental o L'Hôpital)

Solución: Càlcul dels límits laterals a x=0x = 0 que donen 11; càlcul de les derivades laterals a x=0x = 0 per definició: f+′(0)=1f'_+(0) = 1 i f−′(0)=0f'_-(0) = 0; comprovació a x=1x = 1 que el límit per l'esquerra és ee i per la dreta és 1/21/2.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

PROBLEMA 4 · 2013 ›

Más ejercicios de Continuïtat i derivabilitat en un punt