PROBLEMA 7 · Cálculo en una Variable UPC 2014

Dibuix qualitatiu de les gràfiques de f'(x) i f''(x)

Solución: Les gràfiques de la primera i segona derivada han de seguir el traçat representat a la figura, alineades verticalment amb els punts crítics de la funció original.

Justificant cadascuna de les característiques rellevants.

Solución: Per deduir el comportament de les derivades s'apliquen els criteris geomètrics següents: - Monotonia i signe de f'(x): En els intervals on f(x) és estrictament creixent, f'(x) > 0; on és estrictament decreixent, f'(x) < 0. - Extrems relatius de f(x): En els punts de tangent horitzontal (màxims i mínims locals), la primera derivada s'anul·la: f'(x) = 0. - Concavitat i punts d'inflexió: Els punts d'inflexió de f(x) (on canvia la curvatura) corresponen als extrems relatius de f'(x) i, per tant, als zeros de la segona derivada: f''(x) = 0. - Comportament asimptòtic: L'asímptota horitzontal de f(x) en l'infinit implica que el pendent tendeix a zero, de manera que f'(x) té una asímptota horitzontal a y = 0, i en conseqüència f''(x) -> 0.