Examen de Matemáticas UVIC 2013 · Final - Gener 2013

Considereu la funció definida a trossos:

Considereu la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin^2 x - x}{x}, & x < 0; \\ 2 - |4 - 2x|, & 0 \le x < 3; \\ \ln(-x^2 + 6x - 8), & 3 \le x. \end{cases}$$

a.

Trobeu el domini de definició de la funció $f$.

b.

Feu l'estudi de la continuïtat de $f$. Indiqueu el tipus de discontinuïtat a $x = 0$ i els punts o intervals on la funció és contínua.

Considereu la funció definida a trossos:

Considereu la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin^2 x - x}{x}, & x < 0; \\ 2 - |4 - 2x|, & 0 \le x < 3; \\ \ln(-x^2 + 6x - 8), & 3 \le x. \end{cases}$$

c.

Estudieu la derivabilitat de $f$ en el seu domini.

d.

Determineu l'equació de la recta tangent a la gràfica de $y = f(x)$ en el punt d'abscissa $x = -\pi/2$.

Trobeu el domini de definició de la funció de dues variables:

$$f(x, y) = \sqrt{y - x^2 + 2} + \ln(y + 2x)$$

i descriviu-lo i representeu-lo gràficament en el pla cartesià.

3. Càlcul Diferencial 3 (3,5 punts). Diferenciabilitat, gradient i derivada direccional

Considereu la funció $f(x, y, z) = x\sqrt{y^2 - xz}$.

a)

Calculeu les derivades parcials de primer ordre de la funció $f$.

b)

Calculeu el vector gradient de $f$ en el punt $P = \left(-1, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$.

$($

$,$

$,$

$)$

c)

Trobeu la derivada direccional de $f$ en el punt $P$ en la direcció del vector $\vec{v} = (2, -2, 8)$.

Càlcul Diferencial 4 (2 punts). Optimització i punts crítics

Trobeu i classifiqueu els punts crítics de la funció:

$$f(x) = x + \frac{|x|}{x - 1}$$

1.

2.

Càlcul Diferencial 4 (2 punts). Optimització i punts crítics

Trobeu i classifiqueu els punts crítics de la funció següent:

$$f(x, y) = -x^3 - 3xy^2 + 3x$$

1.

Trobeu els quatre punts crítics resolent el sistema $\nabla f(x, y) = (0, 0)$. Indiqueu les coordenades no nul·les dels punts trobats:

i

i

2.

Classifiqueu cadascun dels quatre punts crítics calculant la matriu hessiana $H(x, y)$ i el seu determinant:

5 Càlcul Integral 1 (6 punts). Càlcul de primitives i integrals definides

Calculeu cadascuna de les integrals següents:

5 Càlcul Integral 1. Càlcul de primitives

Calculeu cadascuna de les integrals següents:

a)

$$\int x \sin(x^2)\, dx$$

b)

$$\int x \sqrt{x + 1}\, dx$$

5 Càlcul Integral 1 (6 punts). Càlcul de primitives i integrals definides

Calculeu cadascuna de les integrals següents:

c)

Calculeu la integral definida:

$$\int_0^{\pi/4} x \sin(2x)\, dx$$

d)

Estudieu la integral:

$$\int_0^2 \frac{x + 1}{x^2 - 3x + 2}\, dx$$

6 Càlcul Integral 2 (4 punts). Càlcul d'àrees entre corbes

Calculeu l'àrea de la regió del pla situada completament en el primer quadrant que queda delimitada per les corbes:

$$y = -x^2 + 2x + 8, \quad y = 9x \quad \text{i} \quad y = 4x$$