Examen de Matemáticas UVIC 2013 · parcial de Matemàtiques I - Desembre 2013

Exercici 1 [1 punt]. Anàlisi gràfica de límits i continuïtat

A partir de la gràfica de la funció $f$ que es mostra a continuació, determineu cadascun dels valors sol·licitats:

a.

$\mathrm{Dom}(f) =$

b.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) =$

c.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) =$

d.

$\lim_{x \to -1} f(x) =$

e.

$\lim_{x \to 0} f(x) =$

f.

$\lim_{x \to 1} f(x) =$

g.

$\lim_{x \to 4} f(x) =$

h.

Exercici 2 (1 punt). Domini d'una funció irracional

Determineu el domini de definició de la funció següent:

$$f(x) = x^2 \sqrt{x^2 + 2x - 3} - 2x$$

Exercici 3 (1 punt). Domini d'una funció de dues variables

Trobeu el domini de la funció $f(x, y) = \ln(x^2 - y - 1) - \ln(x - y)$ i feu-ne la representació gràfica al pla.

Exercici 4 (1 punt). Càlcul de límit

Calculeu el límit següent:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2) - x}{\ln(1 + 3x)}$$

Exercici 5 (3 punts). Estudi d'una funció definida a trossos

Sigui la funció:

$$f(x) = \begin{cases} \ln(x + 2), & x < 0 \\[1ex] \sin^2(x), & 0 \le x < \pi/3 \\[1ex] \left|\dfrac{x}{\pi} - 2\right| - \dfrac{11}{12}, & \pi/3 \le x \le 7 \end{cases}$$

a)

Calculeu el domini de $f$. [0,5 punts]

b)

Estudieu la continuïtat de $f$. [1 punt]

Considereu la funció definida a trossos de l'Exercici 5: Sigui la funció:

$$f(x) = \begin{cases} \ln(x + 2), & x < 0 \\[1ex] \sin^2(x), & 0 \le x < \pi/3 \\[1ex] \left|\dfrac{x}{\pi} - 2\right| - \dfrac{11}{12}, & \pi/3 \le x \le 7 \end{cases}$$

c)

Estudieu la derivabilitat de $f$. [1 punt]

d)

Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de $y = f(x)$ en el punt d'abscissa $x = -1$. [0,5 punts]

Exercici 6 (3 punts). Càlcul diferencial en diverses variables

Donada la funció escalar de tres variables:

$$f(x, y, z) = x^2 z + y\sqrt{z^2 - y}$$

a)

Calculeu les derivades parcials de primer ordre de $f$. [1,5 punts]

b)

Determineu el vector gradient de $f$ en el punt $(1, 0, 3)$. [0,75 punts]

$($

$,$

$,$

$)$

c)

Calculeu la derivada direccional de $f$ en el punt $(1, 0, 3)$ seguint la direcció del vector $\vec{v} = (1, 1, -2)$. [0,75 punts]