Ejercicio Càlcul Diferencial 3 · Matemáticas UVIC 2013

Enunciado

3. Càlcul Diferencial 3 (3,5 punts). Diferenciabilitat, gradient i derivada direccional

Considereu la funció $f(x, y, z) = x\sqrt{y^2 - xz}$ .

Calculeu les derivades parcials de primer ordre de la funció $f$ .

Calculeu el vector gradient de $f$ en el punt $P = \left(-1, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ .

$($

$,$

$)$

Trobeu la derivada direccional de $f$ en el punt $P$ en la direcció del vector $\vec{v} = (2, -2, 8)$ .

Enunciado: Ejercicio Càlcul Diferencial 3 · Matemáticas UVIC 2013

Según los criterios oficiales de corrección

a) Calculeu la derivada parcial de primer ordre respecto a $x$ : $\frac{\partial f}{\partial x}$

Solución: $\frac{2y^2 - 3xz}{2\sqrt{y^2 - xz}}$ / $\sqrt{y^2 - xz} - \frac{xz}{2\sqrt{y^2 - xz}}$

a) Calculeu la derivada parcial de primer ordre respecte a $y$ : $\frac{\partial f}{\partial y}$

Solución: $\frac{xy}{\sqrt{y^2 - xz}}$

a) Calculeu la derivada parcial de primer ordre respecte a $z$ : $\frac{\partial f}{\partial z}$

Solución: $-\frac{x^2}{2\sqrt{y^2 - xz}}$

b) Primera component del gradient de $f$ en el punt $P = \left(-1, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(P)$

Solución: $\frac{11}{8}$

b) Segona component del gradient de $f$ en el punt $P$ : $\frac{\partial f}{\partial y}(P)$

Solución: $-\frac{1}{2}$

b) Tercera component del gradient de $f$ en el punt $P$ : $\frac{\partial f}{\partial z}(P)$

Solución: $-\frac{1}{2}$

c) Trobeu la derivada direccional de $f$ en el punt $P$ en la direcció del vector $\vec{v} = (2, -2, 8)$

Solución: $-\frac{\sqrt{2}}{48}$ / $-\frac{1}{24\sqrt{2}}$

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.