Examen de Càlcul UAB 2024 · Juny

Context

Avaluació corresponent a la convocatòria de recuperació (juny de 2024). Resoleu cadascun dels exercicis detallant pas a pas els càlculs i justificant els resultats obtinguts.

Exercici 1 (2,5 punts cada apartat). Límits i equacions

a. Trobeu el valor dels límits següents:

1.

$$\lim_{x\to 0} \left(\frac{2\cos x}{\sin 2x} - \frac{1}{x}\right)$$

2.

$$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x^3}{x^2 - x + 1} - \frac{x^3}{x^2 + x - 1}\right)$$

Context

Avaluació corresponent a la convocatòria de recuperació (juny de 2024). Resoleu cadascun dels exercicis detallant pas a pas els càlculs i justificant els resultats obtinguts.

Exercici 1 (2,5 punts cada apartat). Límits i equacions

b. Resoleu cadascuna de les següents equacions:

1.

$$\frac{10}{e^x - e^{-x}} = 4(e^x + e^{-x})$$

2.

$$\ln(2x^2 + 3x - 18) - 2\ln x = 0$$

Exercici 2 (6+3 punts). Estudi de funció i teorema del valor mitjà

a.

Considereu la funció $f(x) = 3x^5 - 5x^3 - 15x$. Estudieu el seu creixement i decreixement, la concavitat i convexitat, determineu els punts crítics classificant-los, trobeu els punts d'inflexió, analitzeu les possibles asímptotes i dibuixeu un croquis de la gràfica.

b.

Enuncieu el teorema del valor mitjà de Lagrange per a una funció $f$ derivable en un interval obert $I$ i feu-lo servir (o mitjançant la definició de derivada) per calcular:$$\lim_{x\to 0} \frac{(2 + x)^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}{x}$$

Exercici 3 (5+5 punts). Càlcul d'integrals

Calculeu les integrals següents:

a.

$$\int_0^1 x^2 (1 - x^2)^{\frac{3}{2}} dx$$

b.

$$\int \frac{x + 1}{(x - 1)(x^2 + 1)} dx$$

Exercici 4 (5+5 punts). Equacions diferencials ordinàries

Una partícula es mou sobre l'eix real sortint de la posició $x(0) = 100$ a l'instant $t = 0$ en direcció cap a l'origen $x = 0$ amb velocitat inicial $x'(0) = -10$. Se sap que la velocitat de la partícula és en cada instant proporcional a la posició que ocupa en aquest mateix instant.

a.

Plantegeu l'equació diferencial (homogènia) que modelitza aquest moviment i resoleu-la trobant l'expressió explícita de $x(t)$.

b.

Trobeu la solució general de l'equació diferencial lineal:

$$y' + y = x^3$$