Examen de Càlcul UAB 2024 · Juny

Exercici 1 (3+3+4 punts). Teorema Fonamental del Càlcul, àrea i integrals racionals

a.

Considereu la funció definida de forma integral $$H(x) = \int_0^{x^3} e^{2t^2}\,dt.$$ Determineu el valor de la derivada a $x = 1$, és a dir, calculeu $H'(1)$.

c.

Trobeu la primitiva següent: $$\int \frac{x}{(x-3)(x^2+4)}\,dx.$$

Exercici 1 (3+3+4 punts). Teorema Fonamental del Càlcul, àrea i integrals racionals

b.

Calculeu l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f(x) = (\sin(x)\cos(x))^3$, l'eix d'abscisses i les rectes verticals $x = 0$ i $x = \pi/2$.

Exercici 2 (3+3+4 punts). Integral definida, volum de revolució i equació diferencial aplicada

a.

Calculeu la integral definida següent: $$\int_1^e \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\,dx.$$

Exercici 2 (3+3+4 punts). Integral definida, volum de revolució i equació diferencial aplicada

b.

Determineu el volum del sòlid de revolució generat en fer girar la gràfica de $f(x) = \sin(3x)$ al voltant de l'eix vertical (l'eix $OY$) entre les abscisses $x = 0$ i $x = \pi/3$.

Exercici 2 (3+3+4 punts). Integral definida, volum de revolució i equació diferencial aplicada

c)

La velocitat de creixement d'un organisme a temps $t$ és directament proporcional a la diferència existent entre la seva grandària màxima possible (10 mil·límetres) i la mida que assoleix en l'instant $t$. Se sap que a temps $t = 1$ té una mida de 5 mil·límetres, i a $t = 2$ assoleix els 7 mil·límetres. Quina grandària tindrà l'organisme a temps $t = 3$?

Exercici 3 (3+3+4 punts). Equacions diferencials lineals de primer i segon ordre

a.

Trobeu la solució particular de l'equació diferencial lineal de primer ordre

$$y' + \frac{y}{x} = e^{-2x^2}$$

que satisfà la condició inicial $y(1) = 2$.

b.

Determineu la família de totes les solucions de l'equació diferencial homogènia de segon ordre

$$y'' - 4y' + 13y = 0.$$

c.

Trobeu la solució general de l'equació diferencial completa següent:

$$y'' - 4y' + 13y = 4e^x.$$