Examen de Càlcul UAB 2024 · Parcial Abril 2024

Exercici 1 (3+3+4 punts). Equació exponencial, inequació i derivació logarítmica

Resoleu els següents apartats:

a.

Determineu les solucions reals que satisfan l'equació $e^{4x} - 5e^{2x} + 6 = 0$.

b.

Trobeu el conjunt de valors de $x \in \mathbb{R}$ que compleixen la desigualtat $x^2 + 1 < x + 3$.

Exercici 1 (3+3+4 punts). Equació exponencial, inequació i derivació logarítmica

Resoleu els següents apartats:

c.

Calculeu la derivada de la funció $f(x) = (2 + \sin(3x))^{\cos(x)}$.

Exercici 2 (3+3+4 punts). Recta tangent, existència i unicitat de solucions, i càlcul de límits

Resoleu:

a.

Trobeu l'equació de la recta tangent a la corba determinada per $f(x) = \ln(1 + x^2)$ en el punt d'abscissa $x = -2$.

Exercici 2 (3+3+4 punts). Recta tangent, existència i unicitat de solucions, i càlcul de límits

Resoleu:

b.

Demostreu que l'equació $3x + \cos(2x) = 3$ té exactament una solució en l'interval tancat $[0, \pi/2]$.

c.

Calculeu el següent límit indeterminant:

$$\lim_{x \to 0} (1 + \sin(x^2))^{\frac{1}{1 - \cos(x)}}$$

Exercici 3 (3+3+4 punts). Estudi i representació gràfica d'una funció

Es considera la funció real de variable real definida per:

$$f(x) = \frac{e^{-x}}{x + 2}$$

a)

Determineu el domini de la funció, els intervals de creixement i decreixement, així com els seus extrems relatius (especificant si són màxims o mínims).

b)

Trobeu els intervals de concavitat i convexitat, així com els punts d'inflexió.

c)

Dibuixeu un esbós raonat de la gràfica de $f(x)$, indicant les asímptotes rellevants.