Exercici 2 · Càlcul UAB Juny 2024

a. Estudieu el seu creixement i decreixement, la concavitat i convexitat, determineu els punts crítics classificant-los, trobeu els punts d'inflexió, analitzeu les possibles asímptotes

Solución: Domini: $\mathbb{R}$. Simetria: funció senar. Asímptotes: No en té (és un polinomi). Punts crítics: $x = \pm\sqrt{\phi} = \pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \approx \pm 1{,}272$. Màxim relatiu a $x = -\sqrt{\phi}$ i mínim relatiu a $x = \sqrt{\phi}$. Punts d'inflexió: $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x = 0$ i $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

b. Enuncieu el teorema del valor mitjà de Lagrange per a una funció $f$ derivable en un interval obert $I$ i feu-lo servir per calcular el límit

Solución: Enunciat: Sigui $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ contínua en $[a, b]$ i derivable en $(a, b) \subset I$. Aleshores existeix almenys un punt $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Aplicació: Prenent $g(t) = t^{1/5}$ en l'interval entre 2 i $2+x$, $\frac{(2+x)^{1/5} - 2^{1/5}}{x} = g'(c_x) = \frac{1}{5 c_x^{4/5}}$. Com que $c_x \to 2$ quan $x \to 0$, el límit és $g'(2) = \frac{1}{5\cdot 2^{4/5}}$.

b. Valor del límit $\lim_{x\to 0} \frac{(2 + x)^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}{x}$

Solución: $\frac{1}{5\cdot 2^{4/5}}$ / $\frac{1}{5\sqrt[5]{16}}$ / $0{,}1149$

a. Dibuixeu un croquis de la gràfica

Solución: La corba passa per l'origen $(0,0)$, creix des de $-\infty$ fins al màxim local situat a $(-1{,}27, 16{,}2)$ aprox., decreix passant per l'origen amb pendent $-15$ fins al mínim local a $(1{,}27, -16{,}2)$, i a partir d'allà creix cap a $+\infty$. Presenta punts d'inflexió a $x = -1/\sqrt{2} \approx -0{,}71$, a l'origen $(0,0)$ i a $x = 1/\sqrt{2} \approx 0{,}71$.