Exercici 2 (b, c) - Bolzano i límit · Càlcul UAB 2024

Tema: Continuïtat i teoremes de Bolzano: existència i nombre de solucions · Del examen Examen Parcial Abril 2024 (2024)

Enunciado

Exercici 2 (3+3+4 punts). Recta tangent, existència i unicitat de solucions, i càlcul de límits

Resoleu:

b.

Demostreu que l'equació 3x+cos⁡(2x)=33x + \cos(2x) = 3 té exactament una solució en l'interval tancat [0,π/2][0, \pi/2].

c.

Calculeu el següent límit indeterminant:

lim⁡x→0(1+sin⁡(x2))11−cos⁡(x)\lim_{x \to 0} (1 + \sin(x^2))^{\frac{1}{1 - \cos(x)}}

Enunciado: Exercici 2 (b, c) - Bolzano i límit · Càlcul UAB 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

b. Demostreu que l'equació 3x+cos⁡(2x)=33x + \cos(2x) = 3 té exactament una solució en l'interval tancat [0,π/2][0, \pi/2]

Solución: Aplicació del Teorema de Bolzano a g(x)=3x+cos⁡(2x)−3g(x) = 3x + \cos(2x) - 3 (g(0)<0g(0) < 0 i g(π/2)>0g(\pi/2) > 0) i unicitat per monotonia (g′(x)=3−2sin⁡(2x)>0g'(x) = 3 - 2\sin(2x) > 0).

c. Calculeu el següent límit indeterminant: lim⁡x→0(1+sin⁡(x2))11−cos⁡(x)\lim_{x \to 0} (1 + \sin(x^2))^{\frac{1}{1 - \cos(x)}}

Solución: e2e^2

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Exercici 1.c · 2023 ›

Más ejercicios de Continuïtat i teoremes de Bolzano: existència i nombre de solucions