Exercici 3 · Càlcul UAB 2024

Tema: Aplicacions de la derivada: estudi de funcions i optimització · Del examen Examen Parcial Abril 2024 (2024)

Enunciado

Exercici 3 (3+3+4 punts). Estudi i representació gràfica d'una funció

Es considera la funció real de variable real definida per:

f(x)=e−xx+2f(x) = \frac{e^{-x}}{x + 2}

a)

Determineu el domini de la funció, els intervals de creixement i decreixement, així com els seus extrems relatius (especificant si són màxims o mínims).

b)

Trobeu els intervals de concavitat i convexitat, així com els punts d'inflexió.

c)

Dibuixeu un esbós raonat de la gràfica de f(x)f(x), indicant les asímptotes rellevants.

Enunciado: Exercici 3 · Càlcul UAB 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determineu el domini de la funció

Solución: R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\}

a. Intervals de creixement

Solución: (−∞,−3)(-\infty, -3)

a. Intervals de decreixement

Solución: (−3,−2)∪(−2,+∞)(-3, -2) \cup (-2, +\infty)

a. Extrems relatius (especificant si són màxims o mínims)

Solución: Màxim relatiu a (−3,−e3)(-3, -e^3)

b. Interval de concavitat (còncava cap avall)

Solución: (−∞,−2)(-\infty, -2)

b. Interval de convexitat (còncava cap amunt)

Solución: (−2,+∞)(-2, +\infty)

b. Punts d'inflexió

Solución: No hi ha cap punt d'inflexió

c. Asímptotes de la funció

Solución: Asímptota vertical x=−2x = -2; Asímptota horitzontal y=0y = 0 cap a +∞+\infty

c. Dibuixeu un esbós raonat de la gràfica de f(x), indicant les asímptotes rellevants.

Solución: Esbós de la gràfica amb asímptota vertical x=−2x = -2, asímptota horitzontal y=0y = 0 (quan x→+∞x \to +\infty), màxim relatiu a (−3,−e3)≈(−3,−20,09)(-3, -e^3) \approx (-3, -20{,}09) i tall a l'eix yy a (0,1/2)(0, 1/2).

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Exercici 2 · Juny 2024 ›

Más ejercicios de Aplicacions de la derivada: estudi de funcions i optimització