Examen de Álgebra UAB 2020 · Recuperació de Gener de 2020

Exercici 1 [2 punts]. Arrels i factorització de polinomis

Donat el polinomi $p(x) = 2x^3 - 5x^2 + 6x - 2$:

a.

Verifiqueu que el valor complex $z = 1 - i$ constitueix una arrel de $p(x)$ avaluant $p(1 - i)$:

b.

Determineu el conjunt de totes les arrels de $p(x)$ i escriviu la seva descomposició factorial tant a $\mathbb{R}[x]$ com a $\mathbb{C}[x]$.

Exercici 2 [3,5 punts]. Matriu esglaonada reduïda, nucli, imatge i canvi de base

Sigui la matriu real

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \in M_{3\times 4}(\mathbb{R})$$

a.

Calculeu la matriu esglaonada reduïda per files (forma de Gauss-Jordan) $J$ equivalent a $A$ i deduïu el rang de la matriu $A$.

b.

Trobeu una base per al nucli $\ker(f) \subseteq \mathbb{R}^4$ i una base per a la imatge $\mathrm{Im}(f) \subseteq \mathbb{R}^3$ de l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ definida per $f(v) = Av$ (prenent $v$ com a vector columna).

c.

Esteneu la base de $\ker(f)$ trobada a l'apartat anterior fins a formar una base $\mathcal{B}$ de tot $\mathbb{R}^4$. A continuació, escriviu la matriu associada $M(\mathcal{C}_{\mathrm{can}} \leftarrow \mathcal{B})$ que representa $f$ respecte de la base $\mathcal{B}$ a la sortida i la base canònica $\mathcal{C}_{\mathrm{can}}$ a l'arribada.

Exercici 3 (2,5 punts). Valors propis i diagonalització

Es considera la següent matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ -2 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$$

a.

Determineu el conjunt de tots els valors propis de la matriu $A$.

b.

Trobeu una matriu invertible $P$ i una matriu diagonal $D$ tals que es compleixi la relació $A = PDP^{-1}$.

Teoria (2 punts). Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Justifiqueu la resposta:

a.

Tota aplicació lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ que sigui injectiva és també exhaustiva.

Certa

Falsa

Teoria (2 punts). Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Justifiqueu la resposta:

b.

Tot polinomi $p(x) \in \mathbb{R}[x]$ que descompon en factors de grau 1 a $\mathbb{C}[x]$ també descompon en factors de grau 1 a $\mathbb{R}[x]$.

Certa

Falsa

Teoria (2 punts). Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Justifiqueu la resposta:

c.

Si una matriu quadrada té com a forma esglaonada reduïda de Gauss-Jordan la matriu identitat, aleshores és invertible.

Certa

Falsa

Teoria (2 punts). Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Justifiqueu la resposta:

d.

Si $A = PDP^{-1}$, amb $A, P, D$ matrius quadrades d'ordre $n$, essent $P$ invertible i $D$ diagonal, aleshores es compleix que si $D^5 = \mathrm{Id}_n$, necessàriament $A^5 = \mathrm{Id}_n$.

Certa

Falsa