Examen de Álgebra UAB 2020 · Segon Parcial Àlgebra (Gener 2020)

Exercici 1 (3 punts). Aplicació lineal, nucli i imatge

Sigui l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ definida per l'expressió:

$$f(x, y, z, t) = (x + 2y + 3z,\, y + 2z + t,\, 2x + 5y + 8z + t)$$

Resoleu els apartats següents:

a.

Trobeu una base i determineu la dimensió del nucli $\operatorname{Ker}(f) \subseteq \mathbb{R}^4$. [1 punt]

b.

Determineu una base i la dimensió del subespai imatge $\operatorname{Im}(f) \subseteq \mathbb{R}^3$. [1 punt]

c.

Determineu per a quins valors del paràmetre $a \in \mathbb{R}$ el vector $(a, a + 2, 0)$ pertany a $\operatorname{Im}(f)$. Indiqueu a més un exemple d'un vector de $\mathbb{R}^3$ que no formi part de la imatge de $f$. [1 punt]

Exercici 2 (2 punts). Canvi de base a R^2

Preneu l'espai vectorial $\mathbb{R}^2$ sobre $\mathbb{R}$ i els vectors $v_1 = (1, 1)$ i $v_2 = (1, -1)$.

a.

Demostreu que el conjunt $\{v_1, v_2\}$ constitueix una base de l'espai $\mathbb{R}^2$. [1 punt]

b.

Assumint que $v_1$ i $v_2$ tenen vectors de coordenades $(1, 2)$ i $(1, 3)$ respectivament en una base ordenada $\{u_1, u_2\}$ de $\mathbb{R}^2$, calculeu explícitament els vectors $u_1$ i $u_2$. [1 punt]

(

,

)

(

,

)

Exercici 3 (3 punts). Diagonalització i potències d'una matriu

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$$

a.

Calculeu tots els valors propis associats a la matriu $A$. [1 punt]

,

,

b.

Trobeu una matriu invertible $P$ i una matriu diagonal $D$ tals que $A = PDP^{-1}$. [1 punt]

Introduïu els elements de les matrius $D$ i $P$ de manera coherent (les columnes de $P$ han de ser els vectors propis corresponents als valors propis de la diagonal de $D$, segons la base trobada en la resolució oficial):

c.

Obtingueu una expressió explícita per als elements de la matriu potència $A^m$, on $m \in \mathbb{N}$ ($m = 1, 2, 3, \dots$). [1 punt]

Podeu escriure els elements segons la paritat de $m$ (calculeu els valors de la matriu per a $m$ senar i per a $m$ parell):

4. Teoria (2 punts). Qüestions vertader/fals sobre espais i valors propis

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

a.

Una aplicació lineal $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ sempre diagonalitza. (0,6 punts)

Certa

Falsa

c.

Si $\text{rang}\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 4 & 5-\lambda \end{pmatrix} \neq 2$, aleshores $\lambda$ és un valor propi de la matriu $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. (0,7 punts)

Certa

Falsa

4. Teoria (2 punts). Qüestions vertader/fals sobre espais i valors propis

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

b.

Si tenim una aplicació lineal $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^5$, aleshores necessàriament $\dim_{\mathbb{R}}(\operatorname{Im}(f)) = 3$. (0,7 punts)

Certa

Falsa