Examen de Álgebra UAB 2020 · Primer Parcial. Àlgebra

Exercici 1. Nombres complexos i factorització de polinomis

Resoleu els apartats següents relacionats amb el cos dels nombres complexos i polinomis:

a.

Trobeu la representació polar i cartesiana dels nombres $z$ i $z^{12}$ tenint en compte que $z = -1 - i$.

[1 punt]

b.

Determineu tots els valors $w \in \mathbb{C}$ tals que satisfan $w^3 = -8$.

[1 punt]

c.

Descomponeu en factors irreductibles el polinomi $p(x) = x^3 + 8$ en els anells $\mathbb{C}[x]$ i $\mathbb{R}[x]$.

[2 punts]

Exercici 2 [4 punts]. Matrius, forma esglaonada reduïda i sistemes lineals

Es considera la següent matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 4 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & -8 & 4 & -6 & -2 \end{pmatrix} \in M_{3\times 5}(\mathbb{R})$$

a)

Calculeu la matriu esglaonada reduïda de Gauss-Jordan $J$ associada a $A$ i determineu el rang de la matriu $A$. [1 punt]

b)

Trobeu una matriu invertible $P$ que verifiqui la relació $PA = J$. [1 punt]

c)

Troba la solució del següent sistema d'equacions lineals a $\mathbb{R}^4$:

$$\begin{cases} x + 3z - 2t = 2 \\ 4y + z - t = 3 \\ 2x - 8y + 4z - 6t = -2 \end{cases}$$

i doneu les solucions en forma paramètrica. Raoneu si existeix alguna solució particular amb $x = 3$, i alguna amb $t = 2$. [2 punts]

3 Teoria (2 punts). Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de forma justificada si cadascuna de les afirmacions següents és vertadera o falsa:

a.

Dos nombres complexos $z$ i $\bar{z}$ tenen sempre el mateix argument.

Vertadera

Falsa

3 Teoria (2 punts). Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de forma justificada si cadascuna de les afirmacions següents és vertadera o falsa:

b.

Si s'intercanvien dues files en una matriu invertible $P$, la matriu resultant continua sent invertible.

Vertadera

Falsa

3 Teoria (2 punts). Qüestions de vertader o fals

Indiqueu de forma justificada si cadascuna de les afirmacions següents és vertadera o falsa:

c.

Donada $A \in M_2(\mathbb{R})$, si $B$ és la matriu obtinguda en multiplicar la primera fila de $A$ per $2$ i la segona fila per $3$, aleshores $\det(A) = 6\det(B)$.

Vertadera

Falsa