Exercici 2 · Álgebra UAB 2020

Exercici 2 [3,5 punts]. Matriu esglaonada reduïda, nucli, imatge i canvi de base

Sigui la matriu real

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \in M_{3\times 4}(\mathbb{R})$$

a.

Calculeu la matriu esglaonada reduïda per files (forma de Gauss-Jordan) $J$ equivalent a $A$ i deduïu el rang de la matriu $A$.

b.

Trobeu una base per al nucli $\ker(f) \subseteq \mathbb{R}^4$ i una base per a la imatge $\mathrm{Im}(f) \subseteq \mathbb{R}^3$ de l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ definida per $f(v) = Av$ (prenent $v$ com a vector columna).

c.

Esteneu la base de $\ker(f)$ trobada a l'apartat anterior fins a formar una base $\mathcal{B}$ de tot $\mathbb{R}^4$. A continuació, escriviu la matriu associada $M(\mathcal{C}_{\mathrm{can}} \leftarrow \mathcal{B})$ que representa $f$ respecte de la base $\mathcal{B}$ a la sortida i la base canònica $\mathcal{C}_{\mathrm{can}}$ a l'arribada.