Examen de Matemáticas UAB 2018 · Primer parcial de Matemàtiques (Curs 2018/2019)

Exercici 1. Llei de Hack

La Llei de Hack estableix una relació empírica entre la llargada total d'un riu, denotada per $L$, i la superfície de la seva conca hidrogràfica, representada per $A$. La relació ve donada per la fórmula potencial $L = k A^r$, on $k > 0$ és una constant positiva i el paràmetre $r$ compleix $0 < r < 0{,}6$. En el cas del riu Llobregat, la longitud és de $175\text{ km}$ i la seva conca hidrogràfica abasta una àrea de $4948\text{ km}^2$. Assumint que $k = 1{,}4$:

a.

Determineu el valor de l'exponent $r$ fent servir les dades hidrològiques del Llobregat.

b.

Emprant el valor de $r$ obtingut en l'apartat anterior, estimeu quina és la superfície de la conca del riu Besòs si la seva longitud és de $17{,}7\text{ km}$.

Exercici 2. Model de Ricker continu (Apartats a i b)

En dinàmica de poblacions, i particularment en l'àmbit de la piscicultura, s'utilitza amb freqüència el model continu de Ricker. Aquest model descriu el reclutament o nombre de cries, $R$, que produeix un estoc reproductor de biomassa o mida $P$ segons l'expressió:

$$R(P) = \alpha P \exp(-\beta P)$$

on els paràmetres $\alpha$ i $\beta$ són constants estrictament positives i la variable independent pren valors $P > 0$.

Responeu raonadament als següents punts:

a.

Com es comporta el nombre de cries $R$ quan la biomassa de l'estoc esdevé extraordinàriament gran? Calculeu el límit $\lim_{P \to \infty} R(P)$:

b.

Quin és el reclutament per càpita de la població quan la mida de l'estoc és molt propera a zero? Calculeu el límit $\lim_{P \to 0} \frac{R(P)}{P}$:

En dinàmica de poblacions, i particularment en l'àmbit de la piscicultura, s'utilitza amb freqüència el model continu de Ricker. Aquest model descriu el reclutament o nombre de cries, $R$, que produeix un estoc reproductor de biomassa o mida $P$ segons l'expressió:

$$R(P) = \alpha P \exp(-\beta P)$$

on els paràmetres $\alpha$ i $\beta$ són constants estrictament positives i la variable independent pren valors $P > 0$.

c.

Comproveu analíticament que la funció té un únic màxim absolut per a $P > 0$. Calculeu el valor de $P$ que maximitza el nombre de cries i determineu el valor de $R$ en aquest extrem (expressat en funció de $\alpha$ i $\beta$).

d.

Té la funció punts d'inflexió a l'interval on és creixent? I a l'interval on és decreixent? Si n'hi ha, determineu a quins valors de $P$ tenen lloc (en termes de $\alpha$ i $\beta$).

e.

Suposant coneguts els paràmetres $\alpha = 2$ i $\beta = 0{,}71$, indiqueu quin dels cinc gràfics següents reflecteix amb major fidelitat la tendència de la funció $R$ quan $P$ pren valors molt propers a zero, justificant l'elecció:

Exercici 3. Primitiva i valor mitjà

A partir d'una consulta en un cercador hem trobat que una funció primitiva de $Y(r) = r e^{2r}$ és la funció $F(r) = \frac{(2r-1)e^{2r}}{4}$.

a.

Comproveu rigorosament la certesa d'aquesta afirmació mitjançant derivació.

b.

Calculeu el valor mitjà de la funció $Y(r)$ a l'interval tancat $[0, 2]$.

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les següents afirmacions si és certa o falsa, aportant en cada cas una demostració o justificació matemàtica:

a.

La funció $y = -\frac{2}{3}\cos\left(\frac{3x}{\pi}\right)$ té període fonamental $T = \frac{2\pi}{3}$.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les següents afirmacions si és certa o falsa, aportant en cada cas una demostració o justificació matemàtica:

b.

El nombre $K$ de substitucions de nucleòtids fins al temps de divergència, en funció de la proporció $p$ de diferències entre dues cadenes d'ADN, ve determinat pel model de Jukes-Cantor mitjançant la relació $K = -\frac{3}{4}\ln\left(1 - \frac{4p}{3}\right)$. El valor $K = 2$ s'obté quan la proporció de canvis observats és $p = \frac{3(1 - e^{-8/3})}{4} \approx 0{,}7$.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les següents afirmacions si és certa o falsa, aportant en cada cas una demostració o justificació matemàtica:

c.

Considerant la funció $y = x - \sin x$, el valor de la derivada de la seva funció inversa al punt $\pi$ és 1.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de vertader o fals

Indiqueu per a cadascuna de les següents afirmacions si és certa o falsa, aportant en cada cas una demostració o justificació matemàtica:

d.

La derivada respecte a $x$ de la funció $F(x) = \int_{\sin x}^1 u^2 \, du$ és $1 - \sin^2 x$.

Certa

Falsa