Exercici 2 - Apartats c, d i e · Matemáticas UAB 2018

En dinàmica de poblacions, i particularment en l'àmbit de la piscicultura, s'utilitza amb freqüència el model continu de Ricker. Aquest model descriu el reclutament o nombre de cries, $R$, que produeix un estoc reproductor de biomassa o mida $P$ segons l'expressió:

$$R(P) = \alpha P \exp(-\beta P)$$

on els paràmetres $\alpha$ i $\beta$ són constants estrictament positives i la variable independent pren valors $P > 0$.

c.

Comproveu analíticament que la funció té un únic màxim absolut per a $P > 0$. Calculeu el valor de $P$ que maximitza el nombre de cries i determineu el valor de $R$ en aquest extrem (expressat en funció de $\alpha$ i $\beta$).

d.

Té la funció punts d'inflexió a l'interval on és creixent? I a l'interval on és decreixent? Si n'hi ha, determineu a quins valors de $P$ tenen lloc (en termes de $\alpha$ i $\beta$).

e.

Suposant coneguts els paràmetres $\alpha = 2$ i $\beta = 0{,}71$, indiqueu quin dels cinc gràfics següents reflecteix amb major fidelitat la tendència de la funció $R$ quan $P$ pren valors molt propers a zero, justificant l'elecció: