Examen de Matemáticas UAB 2018 · segon parcial de Matemàtiques (Gener 2018)

Exercici 1. Càlcul d'una primitiva per parts

Determineu una primitiva per a la funció real següent:$$y = x \ln(x + 1)$$

Exercici 2. Dinàmica matricial de poblacions estructurada

Una població biològica es classifica en dos estadis de desenvolupament: individus joves i adults. Si denotem respectivament per $j_n$ i $a_n$ el nombre de joves i adults a l'any $n$, la dinàmica es regeix pel sistema:$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}, \quad \text{amb } A = \begin{pmatrix} 0 & 15/2 \\ 1/5 & 1/2 \end{pmatrix}$$

a)

Trobeu els valors propis de la matriu $A$ així com una base formada per vectors propis associats.

b)

Si les poblacions inicials són $j_0 = 500$ i $a_0 = 100$, calculeu els efectius $j_{10}$ i $a_{10}$ transcorreguts 10 anys.

c)

Determineu la relació o proporció existent entre les quantitats $j_n$ i $a_n$ per a qualsevol valor d'$n$.

Exercici 3. Model de creixement logístic poblacional

Una població $N(t)$ (on el temps $t$ es mesura en hores) evoluciona d'acord amb el model logístic:

$$N' = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right)$$

La capacitat de càrrega és $K = 1000$ i la taxa intrínseca de creixement és $r$. En l'instant inicial ($t = 0$), la població compta amb $N_0 = 40$ individus, i se sap que el nombre d'individus es duplica al cap de dues hores.

a.

Trobeu el valor de la taxa de creixement inicial $r$.

b.

Calculeu la mida de la població al cap de quatre hores.

c.

Mitjançant la derivació de l'equació diferencial logística, demostreu que en el punt d'inflexió la població pren el valor $N = K/2$.

d.

Determineu de forma exacta les coordenades $(t, N)$ del punt d'inflexió.

e.

Dibuixeu un esbós raonat de la corba $N(t)$ tot indicant els punts calculats i les asímptotes.

Exercici 4. Qüestions de raonament teòric vertader/fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Aporteu un argument formal en cas afirmatiu o un contraexemple en cas contrari.

a.

El valor mitjà de la funció $y = \frac{x}{1+x^2}$ a l'interval $[-1, 1]$ és igual a $1/2$.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de raonament teòric vertader/fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Aporteu un argument formal en cas afirmatiu o un contraexemple en cas contrari.

b.

Una matriu quadrada d'ordre 3, $A \in M_{3\times 3}(\mathbb{R})$, que té una columna formada exclusivament per zeros no pot ser mai invertible.

Certa

Falsa

c.

Donades dues matrius quadrades qualsevol $A, B \in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, sempre es compleix la identitat $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$.

Certa

Falsa

Exercici 4. Qüestions de raonament teòric vertader/fals

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Aporteu un argument formal en cas afirmatiu o un contraexemple en cas contrari.

d.

La família de funcions $y = \frac{x^4}{4} + \frac{C}{x^2}$ constitueix la solució general de l'equació diferencial $xy' + 2y = x^4$.

Certa

Falsa