Exercício 2 · Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais Época especial 2022

Tema: Teoria matemática das eleições · Do exame Época especial (2022)

Enunciado

2. Um jornal desportivo convidou os leitores a participarem na eleição do melhor jogador de futebol de 2021, de entre os jogadores P, Q, R e S.

Cada leitor ordenou, uma única vez, os quatro jogadores, de acordo com a sua preferência. A ordenação efetuada por cada leitor corresponde a um voto. Foram apurados 1200 votos válidos.

A Tabela 3 encontra-se parcialmente preenchida com as listas de preferências obtidas.

Tabela 3

Lista 1

Lista 2

Lista 3

200 votos

400 votos

600 votos

1.ª Preferência

2.ª Preferência

3.ª Preferência

4.ª Preferência

Concluída a votação, para se obter a decisão final, foi aplicado o método a seguir descrito.

São atribuídos pontos a cada um dos jogadores, em função do seu lugar nas listas de preferências. Cada jogador recebe:

quatro pontos por cada voto na primeira preferência;

três pontos por cada voto na segunda preferência;

dois pontos por cada voto na terceira preferência;

um ponto por cada voto na quarta preferência.

Contabiliza-se a pontuação total de cada um dos jogadores.

O jogador que obtiver a pontuação total mais elevada será eleito o melhor jogador de futebol de 2021.

Admita que, após o apuramento da pontuação total de cada jogador, se verificou que:

– o jogador Q obteve um total de 1400 pontos;

– o jogador S obteve uma pontuação total inferior à do jogador P.

Apresente a ordenação dos jogadores P, Q, R e S na Lista 3.

Na sua resposta, apresente todas as justificações e todos os cálculos efetuados.

1.ª:

2.ª:

3.ª:

4.ª:

Enunciado: Exercício 2 · Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais Época especial 2022

Resolução

Segundo os critérios oficiais de classificação

1.ª Preferência na Lista 3

Resposta: R

2.ª Preferência na Lista 3

Resposta: S

4.ª Preferência na Lista 3

Resposta: Q

Justificações e cálculos efetuados

Resposta: 1. Determinação da posição de Q: Q tem 1400 pontos no total. Na Lista 1, as preferências 1.ª e 4.ª estão ocupadas (P e S), restando a 2.ª (3 pontos × 200 = 600) ou a 3.ª (2 pontos × 200 = 400). Na Lista 2, a 2.ª e 3.ª estão ocupadas (P e S), restando a 1.ª (4 pontos × 400 = 1600) ou a 4.ª (1 ponto × 400 = 400). Na Lista 3, a 3.ª está ocupada (P), podendo obter 2400 (1.ª), 1800 (2.ª) ou 600 (4.ª). Para somar 1400 pontos, a única possibilidade é: 400 (3.ª na Lista 1) + 400 (4.ª na Lista 2) + 600 (4.ª na Lista 3) = 1400 pontos. Portanto, Q ocupa a 4.ª preferência na Lista 3. 2. Determinação da pontuação de P: Pontuação de P = 200 × 4 + 400 × 3 + 600 × 2 = 800 + 1200 + 1200 = 3200 pontos. 3. Posição de S na Lista 3: Na Lista 1, S está em 4.º (200 × 1 = 200 pontos). Na Lista 2, S está em 3.º (400 × 2 = 800 pontos). Logo, das Listas 1 e 2, S tem 1000 pontos. Na Lista 3, restam para S a 1.ª ou a 2.ª preferência (já que a 3.ª é de P e a 4.ª é de Q): - Se S estivesse na 1.ª preferência: 1000 + 600 × 4 = 3400 pontos > 3200 (impossível, pois a pontuação de S é inferior à de P); - Se S estiver na 2.ª preferência: 1000 + 600 × 3 = 2800 pontos < 3200 (válido). Portanto, S ocupa a 2.ª preferência na Lista 3. 4. Conclusão: A 1.ª preferência da Lista 3 é ocupada pelo jogador restante, R. A ordem da Lista 3 é: 1.ª – R, 2.ª – S, 3.ª – P, 4.ª – Q.

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