Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2024

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) (2024)

Aufgabenstellung

2 Die Punkte P(1∣4∣3)P(1|4|3) und Q(−3∣1∣4)Q(-3|1|4) sind benachbarte Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks (vgl. Abbildung). Das Sechseck ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs OO.

a)

Zeigen Sie, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck OPQOPQ den Wert 1278\frac{1}{2}\sqrt{78} hat.

b)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Sechsecks.

c)

Bestimmen Sie die Koordinaten des zweiten zu QQ benachbarten Eckpunkts des Sechsecks sowie die Koordinaten eines weiteren Eckpunkts des Sechsecks.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2024

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Zeigen Sie, dass die Höhe im gleichseitigen Dreieck OPQ den Wert 1/2*sqrt(78) hat.

Lösung: h=∣OP⃗∣2−(12∣PQ⃗∣)2=1278h = \sqrt{|\vec{OP}|^2 - \left(\frac{1}{2}|\vec{PQ}|\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{78}

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Sechsecks.

Lösung: 39339\sqrt{3} / 67,5567{,}55

c) Bestimmen Sie die Koordinaten des zweiten zu Q benachbarten Eckpunkts des Sechsecks

Lösung: (−4∣−3∣1)(-4|-3|1)

sowie die Koordinaten eines weiteren Eckpunkts des Sechsecks.

Lösung: (−1∣−4∣−3)(-1|-4|-3) / (3∣−1∣−4)(3|-1|-4) / (4∣3∣−1)(4|3|-1)

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