Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analytische Geometrie 2018

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung LK · Teil A · Analytische Geometrie (2018)

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Ebene E:x2−3x3=−19E: x_2 - 3x_3 = -19 sowie die Punkte P(1∣2∣2)P(1|2|2), Q(1∣−1∣11)Q(1|-1|11) und S(−2∣−4∣5)S(-2|-4|5).

a

Zeigen Sie, dass SS in der Ebene EE liegt.

b

Weisen Sie nach, dass die Gerade durch PP und QQ senkrecht zu EE steht.

c

Die Punkte PP und QQ haben den gleichen Abstand von der Ebene EE. Die Punkte SS und PP legen die Gerade gg fest. Spiegelt man gg an EE, so erhält man die Gerade hh. Geben Sie eine Gleichung von hh an.

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analytische Geometrie 2018

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Zeigen Sie, dass S in der Ebene E liegt.

Lösung: −4−3⋅5=−19-4 - 3 \cdot 5 = -19

b Weisen Sie nach, dass die Gerade durch P und Q senkrecht zu E steht.

Lösung: PQ⃗=−3⋅n⃗\vec{PQ} = -3 \cdot \vec{n} mit PQ⃗=(0−39)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 9 \end{pmatrix} und n⃗=(01−3)\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}

c Geben Sie eine Gleichung von h an.

Lösung: h:x⃗=OS⃗+λ⋅SQ⃗,λ∈Rh: \vec{x} = \vec{OS} + \lambda \cdot \vec{SQ}, \quad \lambda \in \mathbb{R}

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