Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Extremadura 2023 · Extraordinaria

PROBLEMA 1 (2 puntos)

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 1 & 3 & 3 \\ -3 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Hallar la matriz $X$ que sea solución de la ecuación matricial $X \cdot A - A^t = B$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$. Justificar la respuesta.

PROBLEMA 2

Sean las matrices siguientes: $A = \begin{pmatrix} -1 & x \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se pide, justificando las respuestas:

a)

Determinar el valor de $x$ para que se verifique que $A^2 = -I$.

[1 punto]

b)

Para el valor de $x$ referido en el apartado a), determinar la matriz $A^{43}$.

[1 punto]

$a_{11} =$

$a_{12} =$

$a_{21} =$

$a_{22} =$

PROBLEMA 3 (2 puntos)

Un charcutero vende lomos a $26$ € el kilogramo, salchichones a $15$ € el kilogramo y chorizos a $9$ € el kilogramo. Durante un día vendió $60

\text{ kg}$de embutidos, cobrando por ellos$737\text{ \euro}$. Sabiendo que el peso de los chorizos es el doble de lo que pesan conjuntamente los

lomos y los salchichones, calcular, razonando la respuesta, cuántos kilogramos de cada tipo de embutido vendió ese día.

Una empresa fabrica móviles y tabletas que después vende a 720 euros y 540 euros la unidad, respectivamente. Por cuestiones logísticas, no puede fabricar semanalmente más de 800 móviles ni más de 600 tabletas, ni más de 1000 entre los dos productos. Suponiendo que vende todo el material que fabrica, calcular, justificando las respuestas, el número de móviles y de tabletas que debe fabricar semanalmente para obtener unos ingresos máximos y el valor de dichos ingresos máximos.

Una fábrica de materiales de construcción ha descubierto que la producción diaria de ladrillos no defectuosos (en toneladas), P(x), depende de la dureza del material que utiliza, x, (en una escala del 0 al 10) de acuerdo con la función:

$$P(x) = -x^3 + 3Ax^2 - 3Bx + 23 \qquad 0 \le x \le 10$$

Determinar, justificando la respuesta, las constantes A y B sabiendo que la producción mínima de ladrillos no defectuosos es de 13 toneladas y se alcanza cuando la dureza del material es de 1.

PROBLEMA 6 (2 puntos)

Una empresa constructora tiene que afrontar gastos de suelo y gastos de edificación (en miles de euros), que dependen de la distancia al centro, x (en km). Dichos gastos vienen dados, respectivamente, por las funciones:

$$S(x) = 10x + 100,\ 0 \le x \le 25, \text{ y } E(x) = -x^2 + 10x + 200,\ 0 \le x \le 25.$$

Determinar, justificando las respuestas:

a)

La expresión $G(x)$ que indica los gastos totales de la constructora en función de la distancia al centro de la ciudad donde se realice la obra. (0.5 puntos)

b)

A qué distancias del centro los gastos de construcción son máximos y mínimos, así como el valor de dichos gastos. (1.5 puntos)

PROBLEMA 7 (2 puntos)

Determinar el área delimitada por la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$ y el eje OX entre los valores $x = 0$ y $x = 5$, representando dicha función y el área que se pide. Razonar las respuestas.

$x_1 =$

$x_2 =$

$\text{u}^2$

PROBLEMA 8 (2 puntos)

Un concesionario trabaja con tres marcas de coches: la marca A representa el 60% de sus ventas, la B el 30% y la C el resto. En un estudio acerca de las preferencias de los clientes sobre el cambio de marchas (manual, automático) se obtiene que el 70% de los coches vendidos de la marca A, el 40% de los de la marca B y el 80% de los de la marca C tienen el cambio manual. Se pide, razonando la respuesta:

a)

Calcular la probabilidad de que el concesionario venda un coche con cambio automático. (1 punto)

b)

Sabiendo que un coche vendido tiene el cambio manual, calcular la probabilidad de que sea de la marca C. (1 punto)

PROBLEMA 9 (2 puntos)

Se realiza un estudio sobre el contenido de cierta sustancia en una marca de refrescos. De 500 latas analizadas, 120 contenían dicha sustancia. Calcular un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95%, para la proporción de latas de esta marca que contenían la sustancia. Razonar la respuesta.

(

;

)

PROBLEMA 10 (2 puntos)

Se pretende realizar un estudio sobre el contenido en alcohol de las cervezas, variable que sigue una distribución normal con desviación típica 1.5 grados. ¿Qué cantidad de cervezas habrá que analizar como mínimo si queremos obtener un intervalo de confianza para el contenido medio de alcohol, con un nivel de confianza del 99% y una longitud no superior a 1 grado? Razonar la respuesta.