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Examen de Matemáticas II PAU Canarias 2023 · Junio

Examen de Matemáticas II de Selectividad de Canarias (PAU/EBAU) 2023, Junio: 4 problemas con solución. Temas: Derivadas y sus aplicaciones. Gratis.

Temas del examen: Derivadas y sus aplicaciones · Integrales y cálculo de áreas · Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Sistemas de ecuaciones lineales · Rectas y planos en el espacio: incidencia y posiciones relativas · Problemas métricos: ángulos, distancias, simetrías, áreas y volúmenes · Distribuciones de probabilidad: binomial y normal

Ejercicio 1A · Integrales y cálculo de áreas

Hallar la función polinómica $f(x)$ que verifica que tiene un punto mínimo en $M(1, 2)$ y su segunda derivada es $f''(x) = 2x + 3$ . Dar la expresión de $f(x)$ .

$f(x) =$

Ejercicio 1B · Derivadas y sus aplicaciones

Se quiere construir una Casa de la Juventud de $240\text{ m}^2$ de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen.

Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada?

Ejercicio 2A · Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales

Dadas las matrices

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Comprobar si la matriz $M = 2I_3 + B^t$ tiene inversa, donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3.

Sí

Justificar que existe la matriz $X$ que verifica la ecuación $2X + C = A - X \cdot B^t$ , y calcular razonadamente dicha matriz $X$ :

Ejercicio 2B · Sistemas de ecuaciones lineales

Un bar de tapas canario sólo ofrece tres platos en su menú: escaldón, tollos y carajacas. El precio medio de los tres platos (la ración) es de $5\text{ €}$ . Se sirven $30$ raciones de escaldón, $20$ raciones de tollos y $10$ raciones de carajacas, por lo que se ingresaron $255$ euros en total. Sabiendo que el triple del precio de las carajacas supera en diez euros el doble del precio de los tollos. Calcula el precio de la ración de cada producto.

€

Ejercicio 3A · Problemas métricos: ángulos, distancias, simetrías, áreas y volúmenes

Bloque 3.- Geometría (seleccione solo una pregunta)

3A. En el espacio tridimensional consideramos el plano y las rectas siguientes:

$\pi: 2x + 3y - z = 4 \quad; \quad r: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 5y + z = 0 \end{cases} \quad; \quad s: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}$

Calcular el punto simétrico de $P(-2,1,2)$ respecto de $\pi$ . [1,25 ptos]

Calcular el ángulo que forman $r$ y $s$ . [1,25 ptos]

Ejercicio 3B · Rectas y planos en el espacio: incidencia y posiciones relativas

Bloque 3.- Geometría (seleccione solo una pregunta)

3B. En el espacio tridimensional tenemos las siguientes ecuaciones de rectas:

$r: \begin{cases} x + 2y - 7z = 0 \\ 2x + 3y - 12z + 1 = 0 \end{cases} \quad; \quad s: \begin{cases} 2x - 7y - 3z = 22 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

Estudiar la posición relativa de $r$ y $s$ . [1,25 ptos]

Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ . [1,25 ptos]

Ejercicio 4A · Distribuciones de probabilidad: binomial y normal

Bloque 4.- Probabilidad (seleccione solo una pregunta)

Tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$

La función de distribución acumulada es $F(x) = P(Z \le x)$ .

$z$ · 0 · 0,01 · 0,02 · 0,03 · 0,04 · 0,05 · 0,06 · 0,07 · 0,08 · 0,09

0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7704 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

4A. Según el estudio TALIS (2018), el 11% de los docentes de Educación Secundaria en España son menores de 30 años.

Elegimos 15 docentes españoles, ¿qué probabilidad hay de que haya menos de 2 docentes menores de 30 años? [1 pto]

Supongamos que se seleccionan al azar 200 docentes españoles. ¿Qué probabilidad hay de que entre 20 y 30 docentes sean menores de 30 años? [1 pto]

En un grupo de 500 docentes españoles, ¿cuántos cabe esperar que sean mayores de 30 años? [0,5 ptos]

Ejercicio 4B · Distribuciones de probabilidad: binomial y normal