Ejercicio 3.a-b - Derivadas y curvatura · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Aragón Ordinaria 2024

Tema: Derivadas: monotonía, extremos, curvatura y parámetros · Del examen Ordinaria (2024)

Enunciado

Dada la función f(x)=x3−9x2+40x+50f(x) = x^3 - 9x^2 + 40x + 50, 0≤x≤80 \le x \le 8.

a)

Calcule el valor máximo y mínimo de f(x)f(x) cuando x∈[0,8]x \in [0,8] y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponde con extremos relativos y/o absolutos.

x=x =

f(x)min⁡=f(x)_{\min} =

x=x =

f(x)max⁡=f(x)_{\max} =

b)

¿f(x)f(x) tiene algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de f(x)f(x).

Enunciado: Ejercicio 3.a-b - Derivadas y curvatura · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Aragón Ordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Derivada primera f'(x) y justificación de extremos

Solución: f′(x)=3x2−18x+40f'(x) = 3x^2 - 18x + 40. No existen puntos críticos ni extremos relativos.

a) Abscisa del mínimo absoluto

Solución: 0

a) Valor mínimo absoluto f(x)

Solución: 50

a) Abscisa del máximo absoluto

Solución: 8

a) Valor máximo absoluto f(x)

Solución: 306

b) Abscisa del punto de inflexión

Solución: 3

b) Concavidad, convexidad y coordenadas del punto de inflexión

Solución: Punto de inflexión en (3,116)(3, 116). Convexa (hacia abajo) en [0,3)[0, 3) y cóncava (hacia arriba) en (3,8](3, 8].

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