Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2024 · Extraordinaria Titular

BLOQUE A

(2.5 puntos) Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

resuelva la ecuación matricial $A^2 \cdot X + A^4 = A$.

Una empresa tiene un presupuesto de $78000\text{ €}$ para promocionar un producto y quiere contratar la emisión de anuncios por radio y televisión... ¿Cuántas emisiones de cada tipo debe contratar para que la audiencia sea la mayor posible? ¿A cuánto ascendería dicha audiencia?

Número de anuncios de radio:

Número de anuncios de televisión:

Audiencia máxima:

EJERCICIO 3

Dada la función $$f(x) = \frac{2x - 6}{2 - x}$$

a)

(0.75 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas.

b)

(0.75 puntos) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos.

c)

(1 punto) Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función.

EJERCICIO 4

Se considera la función

$$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x + 3 & \text{si } x < 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$

a)

[0.75 puntos] Estudie su continuidad y derivabilidad.

b)

[0.75 puntos] Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.

c)

[1 punto] Represente la región del plano limitada por la gráfica de $f$, las rectas $x = 3$, $x = 5$ y el eje de abscisas. Calcule su área.

El $7\%$ de los habitantes de una ciudad no tienen ni coche ni moto. De entre los que tienen coche el $36\%$ tienen moto y de entre los que no tienen coche el $28\%$ no tienen moto. Se elige al azar un habitante de esa ciudad:

a)

(1 punto) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos.

b)

(0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos.

c)

(0.5 puntos) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto?

d)

(0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos "tener coche" y "no tener moto"? ¿Son incompatibles?

Sí

No

Sí

No

Se ha realizado un estudio a personas que están teletrabajando actualmente. De estos, el 72% trabajan por cuenta ajena con contrato indefinido, el 11% lo hacen por cuenta ajena con contrato temporal y el resto trabajan por cuenta propia. El 87% de los que tienen contrato indefinido y el 86% de los que trabajan por cuenta propia piensan que el teletrabajo mejora la conciliación familiar. Además, este estudio ha revelado que el 12.51% de los trabajadores opinan que el teletrabajo no mejora la conciliación familiar. Seleccionado un teletrabajador al azar, determine la probabilidad de que:

a)

(1.5 puntos) Opine que el teletrabajo sí mejora la conciliación familiar sabiendo que tiene un contrato temporal.

b)

(1 punto) No esté trabajando por cuenta propia sabiendo que opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar.

La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media $145\text{ cm}$ y desviación típica $22\text{ cm}$.

a)

(1 punto) ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre $135\text{ cm}$ y $155\text{ cm}$?

%

b)

(0.5 puntos) ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el $50\%$ de las más altas?

La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media $145\text{ cm}$ y desviación típica $22\text{ cm}$.

c)

(1 punto) Se selecciona una muestra aleatoria de $16$ plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre $140\text{ cm}$ y $151\text{ cm}$.

Se desea estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de $300$ viajeros, obteniéndose que $12$ de ellos viajan con su mascota.

a)

(1.25 puntos) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del $97\%$, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota.

b)

(1.25 puntos) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del $95\%$, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un $2\%$?