Examen de Álgebra UOC 2021 · Juny

Ejercicio 1. Números complejos y ecuaciones polinómicas

a.

Determinad los valores reales $c$ y $d$ que satisfacen la siguiente igualdad:$$c + 5i = \frac{13 + di}{4 - i}$$

Ejercicio 1. Números complejos y ecuaciones polinómicas

b.

Hallad todas las soluciones complejas de la ecuación $x^3 + 12 = 0$, expresándolas en forma polar y en forma binómica.

Ejercicio 2. Rango matricial y posición relativa de tres planos

Considerad la matriz $A$ dependiente de un parámetro real $m$ (y un parámetro fijado $a \neq -1$):

$$A = \begin{pmatrix} a + 1 & a + 1 & 2a + 2 \\ 2 & -m & -2m \\ -m & 2 & 2 - m \end{pmatrix}$$

a.

Estudiad el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$.

Ejercicio 2. Rango matricial y posición relativa de tres planos

Considerad la matriz $A$ dependiente de un parámetro real $m$ (y un parámetro fijado $a \neq -1$):

$$A = \begin{pmatrix} a + 1 & a + 1 & 2a + 2 \\ 2 & -m & -2m \\ -m & 2 & 2 - m \end{pmatrix}$$

b.

Determinad la posición relativa de los tres planos según los valores de $m$:$$\begin{aligned}\pi_1 &: (a+1)x + (a+1)y + (2a+2)z = 2a+2 \\\pi_2 &: 2x - my - 2mz = 2 - m \\\pi_3 &: -mx + 2y + (2-m)z = -2m\end{aligned}$$

Ejercicio 3. Subespacios vectoriales, pertenencia y cambio de base

Sea $F \subseteq \mathbb{R}^3$ el subespacio vectorial generado por:$$F = \langle (-1, 1, 3), (0, -1, 1), (-2, 7, \lambda) \rangle, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$

a)

Determinad la dimensión de $F$ según el parámetro $\lambda$ y proporcionad una base $A$ para cada caso.

Caso 1: $\lambda \neq 1$

Caso 2: $\lambda = 1$

Ejercicio 3. Subespacios vectoriales, pertenencia y cambio de base

Sea $F \subseteq \mathbb{R}^3$ el subespacio vectorial generado por:$$F = \langle (-1, 1, 3), (0, -1, 1), (-2, 7, \lambda) \rangle, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$

b)

Considerad los vectores $v_1 = (-2a - 2, 7a + 7, a + 1)$ y $v_2 = (1, a - 1, -a - 3)$. Para el caso $\lambda = 1$, justificad si pertenecen a $F$ y, si es así, calculad sus coordenadas respecto a la base $A = \{u_1 = (-1, 1, 3), u_2 = (0, -1, 1)\}$ hallada.

$($

$,$

$)^T$

$($

$,$

$)^T$

c)

Para $\lambda = 1$, comprobad si $B = \{v_1, v_2\}$ conforma una base de $F$. En caso afirmativo, hallad la matriz de cambio de base $C_{B \to A}$:

Ejercicio 4. Aplicación lineal, valores y vectores propios y diagonalización

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un endomorfismo cuya matriz respecto a la base canónica $C$ es:

$$M(f|C,C) = \begin{pmatrix} 3a + 7 & -2 & -2 \\ -4a & a - 1 & 2a \\ 8a + 12 & -2 & b \end{pmatrix}$$

a)

Obtened la expresión analítica de $f(x, y, z)$ en función de las coordenadas canónicas.

Ejercicio 4. Aplicación lineal, valores y vectores propios y diagonalización

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un endomorfismo cuya matriz respecto a la base canónica $C$ es:

$$M(f|C,C) = \begin{pmatrix} 3a + 7 & -2 & -2 \\ -4a & a - 1 & 2a \\ 8a + 12 & -2 & b \end{pmatrix}$$

b)

Calculad el valor que debe tomar $b$ para que el vector $v = (1, a, 3)$ sea un vector propio de $f$, y hallad el valor propio $\lambda$ asociado.

c)

Fijado el valor de $b$ hallado, calculad el polinomio característico de $f$, determinad todos sus valores propios y escribid la matriz diagonal correspondiente.