Examen de Álgebra UOC 2021 · - Enero 2021

Pregunta 1 (25% del total). Raíces de un polinomio en forma polar

Determinad todas las soluciones en forma polar de la ecuación compleja:

$$z^4 - 256 = 0$$

Escribid cada solución en la forma $r_\alpha$ (o especificando el módulo $r$ y el argumento $\alpha$ en radianes o grados, por ejemplo 4_0, 4_(pi/2) o 4_90°):

$z_0$:

$z_1$:

$z_2$:

$z_3$:

Pregunta 2 (25% del total). Discusión de un sistema lineal con parámetros

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} (n + a)x + 2y + nz = m \\ 3x + y = 1 \\ y + nz = 0 \end{cases}$$

Considerando $a \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ como una constante fijada, clasificad y discutid la compatibilidad del sistema en función de los parámetros reales $n$ y $m$.

Pregunta 3 (25% del total). Subespacios, coordenadas y cambio de base

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ se consideran los vectores:

$$e_1 = (3, 0, -3), \quad e_2 = (-1, -2, 5), \quad e_3 = (0, -6, 12), \quad e_4 = (-2, 2, -2)$$

Sea el subespacio generado $E = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$ y sea el vector $v = (3a + 12, -6, -3a)$, donde $a$ es una constante fijada.

a.

Determinad la dimensión de $E$ y una base $A$ del mismo. ¿Pertenece el vector $v$ a $E$? En caso afirmativo, hallad sus coordenadas en la base $A$.

b.

Se define el vector $w = (3a + 3, 0, -3a - 3)$. Se sabe que $B = \{v, w\}$ constituye una base de $E$. Calculad la matriz de cambio de base de $A$ a $B$ y la de $B$ a $A$.

Pregunta 4 (25% del total). Aplicación lineal, sobreyectividad y diagonalización

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ el endomorfismo definido en la base canónica por:

$$f(x, y, z) = (3x + 4y + (a - 3)z, 4x + 3y - 4z, az)$$

a)

Hallad la matriz de $f$ asociada a la base canónica de $\mathbb{R}^3$, expresada como $M_f = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix}$:

b)

Para $a = 0$, ¿es la aplicación $f$ exhaustiva (sobreyectiva)?

Sí

No

Pregunta 4 (25% del total). Aplicación lineal, sobreyectividad y diagonalización

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ el endomorfismo definido en la base canónica por:

$$f(x, y, z) = (3x + 4y + (a - 3)z, 4x + 3y - 4z, az)$$

c) Para un valor genérico fijado de $a$, calculad el polinomio característico de $f$, indicad sus valores propios y determinad una base de $\mathbb{R}^3$ formada por el número máximo posible de vectores propios linealmente independientes.