Examen de Álgebra UOC 2021 · ordinario enero 2021

Pregunta 1 (25% del total). Operación con números complejos

Determina el módulo y el argumento principal del número complejo resultante de evaluar la siguiente expresión:$$z = \frac{4 + 4i}{1 + \sqrt{3}i}$$

a)

b)

Pregunta 2 (25% del total). Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

Considera el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x, y, z$:$$\begin{cases} nx + y = m \\ \phantom{nx +{}} y = a \\ \phantom{nx + y +{}} nz = 0 \end{cases}$$donde $a$ es una constante fijada por el último dígito del identificador personal del estudiante.

a)

Discute las posibles soluciones del sistema en función de los parámetros reales $n$ y $m$, aportando una interpretación geométrica para cada caso obtenido:

b)

Calcula la solución del sistema en el caso particular en que $n = 1$ y $m = a$. Indica el valor de $(x, y, z)$ en función de $a$:

$x =$

$y =$

$z =$

Pregunta 3 (25% del total). Subespacios vectoriales y cambio de base

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ se define el subespacio $E$ de dimensión 3 mediante:

$$E = \{(a_1, a_2, a_3, a_4) \in \mathbb{R}^4 \mid a_1 - 2a_3 = 0\}$$

y se considera el vector $v = (-4, 6, -2, 2)$.

a)

Verifica que el conjunto de vectores $A = \{(2,0,1,0), (0,1,0,0), (0,0,0,1)\}$ conforma una base de $E$. ¿Pertenece $v$ a $E$? De ser así, halla las coordenadas de $v$ referidas a la base $A$.

b)

Sean las matrices:

$$C_1 = \begin{pmatrix} (a-1)(a-3) & 0 & 0 \\ 0 & (a-5)(a-7) & 0 \\ (a-1)(a-3) & (a-5)(a-7) & a-9 \end{pmatrix}$$

$$C_2 = \begin{pmatrix} a(a-2)(a-4) & a(a-6) & 0 \\ 0 & a(a-6) & a-8 \\ 0 & 0 & a-8 \end{pmatrix}$$

donde $a \in \{0, 1, \dots, 9\}$. ¿Bajo qué condiciones pueden $C_1$ o $C_2$ representar la matriz de cambio de base de una base $B$ a la base $A$? Describe las bases $B$ resultantes cuando esto sea posible.

Considera en el plano afín los puntos $A = (a, 1)$, $B = (0, 0)$ y $C = (2a, 0)$, que forman los vértices de un triángulo. Se define la transformación afín $f$ cuya representación en coordenadas homogéneas viene dada por la matriz:

$$M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -3a-3 \\ 0 & -a & 2a-4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Halla las coordenadas de los vértices transformados $f(A)$, $f(B)$ y $f(C)$.

b)

Demuestra que la aplicación $f$ equivale a aplicar un escalado de razones $4$ y $-a$ centrado en el punto $A$, seguido de una traslación. Especifica las componentes del vector de dicha traslación.

c)

Determina los puntos del plano que permanecen fijos bajo la acción de $f$.